Injektīvās, sirjektīvās un bijektīvās funkcijas jautājumu piemēri un apspriešana
Funkcijas definīcija un tās lietderība matemātikā bieži ir aizraujoša diskusiju tēma. Šajā kontekstā mēs bieži sastopamies ar tādiem terminiem kā injektīvās, sirjektīvās un bijektīvās funkcijas. Šo trīs funkciju veidu izpratne ir ļoti svarīga matemātiskajai analīzei un to praktiskajam pielietojumam dažādās jomās, piemēram, datorzinātnēs, ekonomikā un fizikā.
Injektīvās, sirjektīvās un bijektīvās funkcijas izpratne
Pirms apspriest piemēru jautājumus un to apspriešanu, vispirms atcerēsimies trīs funkciju definīcijas.
1. Injektīvā funkcija (viens pret vienu funkcija): Funkciju f : A → B sauc par injektīvu, ja katriem a1 un a2 domēnā A, ja f(a1) = f(a2), tad a1 ir jābūt vienādam ar a2. Citiem vārdiem sakot, injektīvā funkcija nodrošina, ka atšķirīgi elementi domēnā A tiek kartēti uz atšķirīgiem elementiem kodonā B.
2. Surjektīvā funkcija (Onto funkcija): Funkciju f : A → B sauc par sirjektīvu, ja katram elementam kodonā B ir vismaz viens elements domēnā A, kas tam ir kartēts. Šajā gadījumā kodonam B nav "tukšu" elementu vai nav analogu no domēna A.
3. Bijektīvā funkcija (viens pret vienu atbilstība): Funkciju f : A → B sauc par bijektīvu, ja tā ir gan injektīva, gan sirjektīva. Tas nozīmē, ka katram A domēna elementam ir unikāls ekvivalents B kodonā, un katram B kodona elementam ir arī unikāls ekvivalents A domēnā.
Parauga jautājumi un diskusijas
1. jautājums: Injektīvā funkcija
Jautājums:
Dota funkcija f : ℝ → ℝ, kas ir definēta kā f(x) = 2x + 3. Pierādiet, ka šī funkcija ir injektīvā funkcija.
Diskusija:
Lai pierādītu, ka šī funkcija ir injektīvā, mums jāpierāda, ka, ja f(a) = f(b), tad a = b.
Pieņemot, ka f(a) = f(b), mēs sakām, ka:
\[2a + 3 = 2b + 3 \]
Atņemiet 3 no abām pusēm:
\[2a = 2b \]
Dalīt ar 2 abās pusēs:
[a = b]
Tā kā esam pierādījuši, ka f(a) = f(b) izraisa a = b, tad funkcija f(x) = 2x + 3 ir injektīvā funkcija.
2. jautājums: surjektīvā funkcija
Jautājums:
Dota funkcija g : ℝ → ℝ, kas ir definēta kā g(x) = x^3. Pierādiet, ka šī funkcija ir sirjektīva funkcija.
Diskusija:
Lai pierādītu, ka šī funkcija ir sirjektīvā, mums jāpierāda, ka katram elementam y kodonā ℝ ir vismaz viens elements x domēnā ℝ tāds, ka g(x) = y.
Lai y ∈ ℝ. Mēs vēlamies atrast tādu x, ka:
\[ x^3 = y \]
Ņemiet (x = √qrt[3]y):
\[g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
Tā kā katram y kodēmenā ℝ var atrast x, kas ir θ(x = θ(3)y), tad funkcija g(x) = x^3 ir sirjektīva funkcija.
3. jautājums: Bijektīvās funkcijas
Jautājums:
Dota funkcija h : ℝ → ℝ, kas ir definēta kā h(x) = x – 1. Pierādiet, ka šī funkcija ir bijektīva.
Diskusija:
Injicējamais:
Lai pierādītu, ka h(x) ir injektīvā funkcija, mums jāpierāda, ka, ja h(a) = h(b), tad a = b.
Lai h(a) = h(b):
\[a – 1 = b – 1 \]
Pievienojiet 1 abās pusēs:
[a = b]
Tā kā h(a) = h(b) izraisa a = b, tad funkcija h(x) = x – 1 ir injektīvā funkcija.
Surjektīvs:
Lai pierādītu, ka h(x) ir sirjektīvs, mums jāpierāda, ka katram elementam y kodomēnā ℝ, domēnā ℝ ir vismaz viens tāds elements x, ka h(x) = y.
Lai y ∈ ℝ. Mēs vēlamies atrast tādu x, ka:
\[x – 1 = y \]
Pievienojiet 1 abās pusēs:
\[x = y + 1 \]
Tā kā katram y kodomenā ℝ var atrast x, kam ir tāda vērtība, ka x = y + 1, tad funkcija h(x) = x – 1 ir sirjektīva funkcija.
Tā kā h(x) ir injektīvā un sirjektīvā funkcija, tad h(x) ir bijektīvā funkcija.
4. jautājums: Funkcijas veida noteikšana
Jautājums:
Dota funkcija f : ℕ → ℕ, kas definēta kā f(x) = 2x. Nosakiet, vai f ir injektīvā, sirjektīvā vai bijektīvā funkcija.
Diskusija:
Injicējamais:
Lai pierādītu, ka šī funkcija ir injektīvā, mums jāpierāda, ka, ja f(a) = f(b), tad a = b.
Pieņemsim, ka f(a) = f(b):
\[2a = 2b \]
Dalīt ar 2 abās pusēs:
[a = b]
Tāpēc f(x) = 2x ir injektīvā funkcija.
Surjektīvs:
Lai pierādītu, ka šī funkcija ir sirjektīvā, mums jāpierāda, ka katram elementam y kodonā ℕ, domēnā ℕ ir vismaz viens elements x tāds, ka f(x) = y.
Taču ņemiet vērā, ka kodēns ir ℕ (naturālie skaitļi), savukārt f(x) = 2x dod tikai pāra skaitļus. Pieņemot, ka y ir nepāra skaitlis, ℕ nav tāda x, ka 2x = y.
Tāpēc f(x) = 2x nav sirjektīva funkcija.
Tā kā f(x) nav sirjektīva, tad f(x) arī nav bijektīva.
Balstoties uz iepriekš minētajiem dažādajiem piemēriem, mēs varam redzēt, kā pierādīt un identificēt funkciju veidus (injektīvās, sirjektīvās, bijektīvās) no dažādām funkciju definīcijām. Šo funkciju izpratne ir ļoti svarīga daudzos matemātikas aspektos un tās reālās dzīves pielietojumos.
