Piemēru jautājumi par binomiālā sadalījuma funkciju
Binomiālais sadalījums ir diskrēts varbūtības sadalījums, kas apraksta veiksmes gadījumu skaitu eksperimentā, kas sastāv no vairākiem neatkarīgiem mēģinājumiem ar diviem iespējamiem rezultātiem: veiksmi un neveiksmi. Katru mēģinājumu sauc par mēģinājumu, un binominālais sadalījums bieži tiek izmantots situācijās, kad ir interesants veiksmes gadījumu skaits vairākos neatkarīgos mēģinājumos. Šajā rakstā mēs apspriedīsim binominālā sadalījuma pamatjēdzienus un sniegsim piemērus un risinājumus.
Binomiālā sadalījuma funkcijas pamatjēdzieni
Pirms ķeramies pie piemēru jautājumiem un diskusijas, apspriedīsim dažus ar binominālo sadalījumu saistītus pamatjēdzienus.
1. Definīcija: Binomiālais sadalījums ir definēts kā veiksmes gadījumu summa 'n' neatkarīgos mēģinājumos, kur katram mēģinājumam ir divi iespējamie rezultāti: veiksme (ar varbūtību p) vai neveiksme (ar varbūtību q = 1 – p).
2. Varbūtības funkcija: Binomiālā sadalījuma varbūtības funkcija ir:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
di mana:
– \(P(X = k) \) ir varbūtība, ka n mēģinājumos būs k izdošanās.
– \( \binom{n}{k} \) ir n un k kombinācija, kas tiek definēta kā \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p \) ir katra mēģinājuma veiksmes varbūtība.
– \( (1-p) \) ir katra mēģinājuma neveiksmes varbūtība.
3. Paredzamā vērtība un dispersija:
– Binomiālā sadalījuma paredzamā vērtība (vidējā vērtība) ir \( \mu = np \).
– Binomiālā sadalījuma dispersija ir \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Tagad pielietosim šos jēdzienus piemēra problēmā, lai sniegtu dziļāku izpratni.
1. piemēra jautājums: Binomiālā sadalījuma pamata aprēķini
Jautājums:
Uzņēmums ražo elektroniskas komponentes ar 0.95 varbūtību, ka katra komponente izturēs kvalitātes pārbaudi. Ja tiek saražotas 10 komponentes, aprēķiniet varbūtību, ka tieši 8 komponentes izturēs kvalitātes pārbaudi.
Diskusija:
Šīs problēmas risināšanai varam izmantot binomiālā sadalījuma formulu. Vispirms identificējam šādus parametrus:
– \(n \) (kopējais mēģinājumu skaits) = 10
– \(k \) (veiksmju skaits) = 8
– \(p \) (veiksmes varbūtība) = 0.95
– \(q \) (neveiksmes varbūtība) = 1 – 0.95 = 0.05
Pēc tam šīs vērtības aizstāj binomālā sadalījuma formulā:
\[
P(X = 8) = ∫binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Vispirms aprēķiniet kombināciju \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10x9\8!}{8!\2!} = \frac{10x9}{2x1} = 45
\]
Pēc tam aprēķiniet varbūtības \( (0.95)^8 \) un \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \aptuveni 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Visbeidzot, reiziniet visas šīs vērtības, lai iegūtu:
\[
P(X = 8) = 45 x 0.6634 x 0.0025 = aptuveni 0.0744
\]
Tātad varbūtība, ka tieši 8 no 10 komponentiem izturēs kvalitātes pārbaudi, ir aptuveni 0.0744 jeb 7.44%.
2. piemēra jautājums: kumulatīvā varbūtība
Jautājums:
Joprojām tajā pašā uzņēmumā aprēķiniet varbūtību, ka vismaz 9 no 10 komponentiem izturēs kvalitātes pārbaudi.
Diskusija:
Lai atrisinātu šo problēmu, mums jāaprēķina kumulatīvā varbūtība. Varbūtība, ka vismaz 9 no 10 komponentiem izturēs pārbaudi, nozīmē, ka mēs aprēķinām \(P(X \geq 9) \), ko var uzrakstīt kā:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Izmantojot binomiālā sadalījuma formulu:
\[
P(X = 9) = ∫binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = ∫binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Vispirms aprēķiniet kombināciju katram gadījumam:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Pēc tam aprēķiniet varbūtības \(P(X = 9) \) un \(P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 x (0.95)^9 x 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \aptuveni 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 x 0.6302 x 0.05 = aptuveni 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 x (0.95)^{10} x 1
\]
\[
(0.95)^{10} \aptuveni 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Kopējā varbūtība P(X ≈ 9) gadījumā:
\[
P(X ∫ 9) = 0.3151 + 0.5987 = aptuveni 0.9138
\]
Tātad varbūtība, ka vismaz 9 no 10 komponentiem izturēs kvalitātes pārbaudi, ir aptuveni 0.9138 jeb 91.38%.
3. piemēra jautājums: paredzamā vērtība un dispersija
Jautājums:
Aprēķiniet to komponentu skaita paredzamo vērtību un dispersiju no 10 saražotajām komponentēm, kas iztur kvalitātes pārbaudi, ar izturēšanas varbūtību 0.95.
Diskusija:
Izmantojiet šādu formulu:
– Paredzamā vērtība (vidējā vērtība) \( \mu = np \)
– Variācija (\sigma^2 = np(1-p))
Ar n = 10 un p = 0.95:
\[
\mu = 10 x 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 x 0.95 \x 0.05 = 0.475
\]
Tātad, paredzamā komponentu skaita, kas iztur kvalitātes pārbaudi, vērtība ir 9.5, un dispersija ir 0.475.
Secinājums
Izmantojot trīs iepriekš minētos uzdevumu piemērus, mēs esam apsprieduši, kā aprēķināt varbūtību, izmantojot binomiālo sadalījumu dažādās situācijās: precīzas varbūtības aprēķināšana, kumulatīvās varbūtības aprēķināšana un paredzamās vērtības un dispersijas aprēķināšana. Zināšanas par binomiālo sadalījumu ir noderīgas dažādās jomās, piemēram, ražošanā, medicīnas pētniecībā un sociālajā statistikā, kur atkārtotu eksperimentu rezultātus ar diviem iespējamiem rezultātiem var analizēt, lai palīdzētu pieņemt lēmumus. Cerams, ka sniegtie uzdevumu piemēri un diskusijas palīdzēs jums labāk izprast binomiālo sadalījumu.
