Piemēru jautājumi un binomiālā sadalījuma apspriešana
Binomiālais sadalījums ir viens no visbiežāk izmantotajiem diskrētajiem varbūtību sadalījumiem. Tas ir noderīgs, lai modelētu veiksmes gadījumu skaitu vairākos identiskos, neatkarīgos mēģinājumos, no kuriem katrs rada vai nu veiksmi, vai neveiksmi. Šajā rakstā mēs sīkāk aplūkosim binominālo sadalījumu, sniedzot vairākus piemērus un detalizētu diskusiju.
Ievads binomiālajā sadalījumā
Binomiālā sadalījuma galvenās īpašības:
1. n: Mēģinājumu vai atkārtojumu skaits.
2. p: veiksmes varbūtība katrā izmēģinājumā.
3. q = 1-p: Neveiksmes varbūtība katrā mēģinājumā.
Binomiālā sadalījuma varbūtības masas funkcija ir:
\[P(X = k) = {n \izvēlies k} p^k (1-p)^{nk} \]
di mana:
– \({n \izvēlies k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \(X \): Nejaušs mainīgais, kas attēlo izdošanās reižu skaitu.
– \(k \): Vēlamo panākumu skaits.
Parauga jautājumi un diskusija
Sāksim ar dažiem uzdevumu piemēriem, lai sīkāk izprastu binomiālā sadalījuma jēdzienu.
1. piemērs: Izvēle no studentu grupas
Piemēram, pieņemsim, ka mums ir 10 studentu grupa, un varbūtība, ka katrs students tiks izvēlēts dalībai konkursā, ir 0,3. Mēs vēlamies uzzināt varbūtību, ka tiks izvēlēti tieši 4 studenti.
1. darbība: identificējiet binomiālā sadalījuma parametrus.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
2. solis: Izmantojiet binominālo sadalījumu, lai aprēķinātu (X = 4) varbūtību.
\[P(X = 4) = {10 \izvēlies 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Aprēķinot \( {10 \izvēlieties 4} \):
\[ {10 \izvēlieties 4} = \frac{10!}{4!(10 - 4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Tagad aprēķiniet \( (0.3)^4 \) un \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Džadija,
\[P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \aptuveni 0.20012 \]
Tātad varbūtība, ka tiks atlasīti tieši 4 studenti, ir aptuveni 0.20012 jeb 20.012%.
2. piemērs: varbūtība ir mazāka vai vienāda ar 2
Piemēram, tagad mums jautā par varbūtību, ka tiks atlasīti mazāk vai vienādi ar 2 studentiem.
1. solis: Mums jāaprēķina \(P(X = 0) \), \(P(X = 1) \) un \(P(X = 2) \).
– Ja P(X = 0)):
\[P(X = 0) = {10 \izvēlieties 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \izvēlieties 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Ja P(X = 1)):
\[P(X = 1) = {10 \izvēlies 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \izvēlieties 1} = 10 \]
\[(0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Ja P(X = 2)):
\[P(X = 2) = {10 \izvēlies 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \izvēlieties 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
2. solis: saskaitiet varbūtības.
\[P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Tātad varbūtība, ka tiks atlasīti mazāk vai vienādi ar 2 studentiem, ir aptuveni 0.7740671 jeb 77.41 %.
3. piemērs: Varbūtība vismaz 8
Ja eksperiments tiek veikts 12 reizes un katra mēģinājuma veiksmes varbūtība ir 0.5, kāda ir varbūtība, ka izdosies vismaz 8 reizes?
1. solis: iestatiet binominālos parametrus: \(n = 12, p = 0.5 \).
2. solis: Atrodiet varbūtību \(X \geq 8 \).
Tas prasa aprēķināt vairākas individuālas varbūtības un tās saskaitīt:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Saskaitiet pa vienam:
– Ja P(X = 8)):
\[P(X = 8) = {12 \izvēlies 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \izvēlieties 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– Ja P(X = 9)):
\[P(X = 9) = {12 \izvēlies 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \izvēlieties 9} = 220 \]
\[P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– Ja P(X = 10)):
\[P(X = 10) = {12 \izvēlieties 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \izvēlieties 10} = 66 \]
\[P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– Ja P(X = 11)):
\[P(X = 11) = {12 \izvēlieties 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \izvēlieties 11} = 12 \]
\[P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– Ja P(X = 12)):
\[P(X = 12) = {12 \izvēlieties 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \izvēlieties 12} = 1 \]
\[P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
3. solis: saskaitiet visas varbūtības.
\[P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \aptuveni 0.1938477 \]
Tātad varbūtība, ka 12 mēģinājumos notiks vismaz 8 veiksmīgi, ir aptuveni 0.1938477 jeb 19.38%.
Secinājums
Binomiālais sadalījums ir fundamentāls statistikas jēdziens, kam ir izšķiroša nozīme daudzos praktiskos pielietojumos. Izprotot, kā aprēķināt varbūtības dažādiem binominālā sadalījuma gadījumiem, kā parādīts iepriekš minētajos piemēros, mēs varam pielietot šo jēdzienu reālās situācijās. Šis vingrinājums arī nostiprina mūsu izpratni par to, kā varbūtību struktūras darbojas skaidrā un organizētā kontekstā.
