Piemēru jautājumi un ķēdes noteikuma apspriešana atvasinājumos
Ķēdes likums ir viens no diferenciālrēķinu pamatjēdzieniem, ko izmanto, lai aprēķinātu funkcijas atvasinājumu, kas sastāv no divām vai vairākām funkcijām. Šajā rakstā mēs apspriedīsim ķēdes likuma pamatjēdzienu, tā lietošanu un tā izmantošanas piemērus atvasinājumu problēmās, kas bieži rodas gan vidusskolā, gan koledžā.
1. Ievads ķēdes noteikumā
Pirms ķeramies pie piemēra problēmas, vispirms sapratīsim, kas ir ķēdes likums. Ķēdes likums nosaka, ka, ja mums ir divas diferencējamas funkcijas \(f \) un \(g \) un mēs vēlamies atrast funkciju kompozīcijas atvasinājumu \(h = f(g(x)) \), tad \(h \) atvasinājums ir:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Vienkārši sakot, mēs aprēķinām ārējās funkcijas atvasinājumu no g(x) un pēc tam rezultātu reizinām ar iekšējās funkcijas atvasinājumu (g(x)).
2. Kompozīcijas funkcijas izpratne
Pirms ķeramies pie piemēru uzdevumiem, ir svarīgi saprast kompozīcijas funkcijas. Kompozīcijas funkcija ir funkcija, kas iegūta, ievietojot vienu funkciju citā. Piemēram, ja mums ir \(f(x) = \sin(x) \) un \(g(x) = x^2 \), tad abu funkciju kompozīcija būs \(h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).
Sastāvfunkcijās mēs bieži uzskatām \(g(x) \) par "iekšējo funkciju" un \(f(x) \) par "ārējo funkciju". Šajā piemērā iekšējā funkcija ir \(x^2 \) un ārējā funkcija ir sinuss.
3. Jautājumu piemēri un diskusija
Apskatīsim dažus problēmu piemērus, kuru risināšanai tiek izmantots ķēdes likums.
1. piemērs:
Dota funkcija \(y = \cos(3x^2) \), atrodiet y pirmo atvasinājumu attiecībā pret x.
Diskusija:
Vispirms mēs identificējam iekšējo un ārējo funkciju. Šeit iekšējā funkcija ir \(g(x) = 3x^2 \) un ārējā funkcija ir \(f(g) = \cos(g) \).
Mēs zinām:
1. (g'(x) = 6x)
2. \(f'(g) = -\sin(g) \)
Pēc ķēdes noteikuma iegūstam:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]
Tātad, \(y = \cos(3x^2) \) atvasinājums ir:
\[y' = -6x \sin(3x^2) \]
2. piemērs:
Atrodiet funkcijas h(x) = e^{5x^3 + 2x} pirmo atvasinājumu.
Diskusija:
Šeit iekšējā funkcija ir \(g(x) = 5x^3 + 2x \) un ārējā funkcija ir \(f(g) = e^g \).
Mēs zinām:
1. \(g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \(f'(g) = e^g \)
Pēc ķēdes noteikuma iegūstam:
[h'(x) = f'(g(x)) ∫ g'(x) = e^{5x^3 + 2x} ∫ (15x^2 + 2)]
Tātad, funkcijas \(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) atvasinājums ir:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
3. piemērs:
Atrodiet funkcijas y = ∫ln(4x^2 – 5) pirmo atvasinājumu.
Diskusija:
Iekšējā funkcija ir \(g(x) = 4x^2 – 5 \) un ārējā funkcija ir \(f(g) = \ln(g) \).
Mēs zinām:
1. (g'(x) = 8x)
2. \(f'(g) = \frac{1}{g} \)
Pēc ķēdes noteikuma iegūstam:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
Tātad, \(y = \ln(4x^2 – 5) \) atvasinājums ir:
\[y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
4. piemērs:
Dota funkcija \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \), aprēķiniet tās atvasinājumu.
Diskusija:
Iekšējā funkcija ir \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) un ārējā funkcija ir \(f(g) = g^4 \).
Mēs zinām:
1. (g'(x) = 6x + 2)
2. \(f'(g) = 4g^3 \)
Pēc ķēdes noteikuma iegūstam:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]
Tātad, \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) atvasinājums ir:
\[y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Īpaši gadījumi un ķēdes noteikumu izstrāde
Dažreiz ķēdes likums neapstājas pie tikai divu funkciju salikuma. Ir reizes, kad funkcija ir vairāk nekā divu funkciju salikums, piemēram: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Trīs funkciju gadījumā ķēdes noteikumu var piemērot slāņos:
\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]
Mēs redzam, ka katrā slānī mēs aprēķinām ārējo slāņu atvasinājumus, pirms pāriet pie iekšējo slāņu atvasinājumiem.
5. piemērs:
Dots (y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)}), aprēķiniet tā atvasinājumu.
Diskusija:
Iekšējā funkcija ir \(k = 2x^2 + 1 \), vidējā: \(g = \ln(k) \) un ārējā: \(f = \sqrt{g} \).
Mēs zinām:
1. \(k'(x) = 4x \)
2. \(g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \(f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Pielietosim ķēdes likumu slāņos:
[y' = f'(g(k(x))], $$ g'(k(x)) $$ k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} $$ cdot \frac{1}{2x^2 + 1} $$ 4x]
Tātad \(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) atvasinājums ir:
\[y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Kesimpulāns
Ķēdes noteikumam ir būtiska loma diferenciālrēķinos, īpaši, strādājot ar funkciju kompozīciju. Ķēdes noteikuma izpratne un apgūšana nodrošina stabilu pamatu sarežģītāku problēmu risināšanai matemātiskā aprēķinos. Šajā rakstā ir aplūkoti vairāki svarīgi piemēri, lai sniegtu stabilu izpratni par ķēdes noteikuma piemērošanu atvasinājumiem. Mēs ceram, ka šī diskusija ir noderīga studentiem un to var pielietot dažādās sarežģītās matemātiskās situācijās.
