Piemēru jautājumi par divu notikumu A un B saskaitīšanas likumu, kas nav savstarpēji izslēdzoši
Pendahuluan
Varbūtību teorijā ir ļoti svarīgi izprast pamatjēdzienus un to pielietojumu. Viens no bieži sastopamajiem jēdzieniem ir varbūtību saskaitīšanas likums. Šajā rakstā mēs sīkāk aplūkosim saskaitīšanas likumu diviem neizslēdzošiem notikumiem. Neizslēdzoši notikumi rodas, ja diviem notikumiem ir kopīgs iespējamais elements, citiem vārdiem sakot, abi notikumi var notikt vienlaicīgi. Lai atvieglotu izpratni, aplūkosim problēmas piemēru un tā skaidrojumu.
Pamata teorija
Ja mums ir divi notikumi A un B, kas nav savstarpēji izslēdzoši, tad saskaitīšanas noteikumu notikuma A vai B varbūtības aprēķināšanai var izteikt šādi:
\[P(A \tase B) = P(A) + P(B) – P(A \tase B) \]
Šeit:
– \(P(A \cup B) \) ir varbūtība, ka notiks A vai B (vai abi).
– \(P(A) \) ir notikuma A varbūtība.
– \(P(B) \) ir notikuma B īstenošanās varbūtība.
– P(A ≤ B) ir varbūtība, ka A un B notiek vienlaicīgi.
Problēmu piemērs
1. jautājums: Skolā 70 % skolēnu patīk spēlēt futbolu (A notikums), 40 % skolēnu patīk spēlēt basketbolu (B notikums) un 20 % skolēnu patīk spēlēt abus sporta veidus. Kāda ir varbūtība, ka skolēnam patīk spēlēt futbolu vai basketbolu?
Diskusija:
Ir zināms:
– \(P(A) = 0.70 \)
– \(P(B) = 0.40 \)
– \(P(A \cap B) = 0.20 \)
Izmantojot divu savstarpēji izslēdzošu notikumu pievienošanas noteikumu:
\[P(A \tase B) = P(A) + P(B) – P(A \tase B) \]
\[P(A \tase B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[P(A \tase B) = 0.90 \]
Tātad varbūtība, ka studentam patīk spēlēt futbolu vai basketbolu, ir 0.90 jeb 90%.
2. jautājums: Aptaujā 35 % respondentu garšo kafija (A notikums), 50 % respondentu garšo tēja (B notikums) un 10 % respondentu garšo abi. Kāda ir varbūtība, ka respondentam garšo kafija vai tēja?
Diskusija:
Ir zināms:
– \(P(A) = 0.35 \)
– \(P(B) = 0.50 \)
– \(P(A \cap B) = 0.10 \)
Izmantojot divu savstarpēji izslēdzošu notikumu pievienošanas noteikumu:
\[P(A \tase B) = P(A) + P(B) – P(A \tase B) \]
\[P(A \tase B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[P(A \tase B) = 0.75 \]
Tātad varbūtība, ka respondentam garšo kafija vai tēja, ir 0.75 jeb 75%.
3. jautājums: No statistikas datiem ir zināms, ka 60 % cilvēku patīk lasīt grāmatas (notikums A), 30 % cilvēku patīk skatīties filmas (notikums B) un 15 % cilvēku patīk darīt abus. Kāda ir varbūtība, ka cilvēkam patīk lasīt grāmatas vai skatīties filmas?
Diskusija:
Ir zināms:
– \(P(A) = 0.60 \)
– \(P(B) = 0.30 \)
– \(P(A \cap B) = 0.15 \)
Izmantojot divu savstarpēji izslēdzošu notikumu pievienošanas noteikumu:
\[P(A \tase B) = P(A) + P(B) – P(A \tase B) \]
\[P(A \tase B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[P(A \tase B) = 0.75 \]
Tātad varbūtība, ka cilvēkam patīk lasīt grāmatas vai skatīties filmas, ir 0.75 jeb 75%.
4. jautājums: Restorāna aptaujā tika atklāts, ka 55 % klientu pasūtīja picu (A notikums), 35 % klientu pasūtīja makaronus (B notikums) un 20 % klientu pasūtīja abus. Kāda ir varbūtība, ka klients pasūta vai nu picu, vai makaronus?
Diskusija:
Ir zināms:
– \(P(A) = 0.55 \)
– \(P(B) = 0.35 \)
– \(P(A \cap B) = 0.20 \)
Izmantojot divu savstarpēji izslēdzošu notikumu pievienošanas noteikumu:
\[P(A \tase B) = P(A) + P(B) – P(A \tase B) \]
\[P(A \tase B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[P(A \tase B) = 0.70 \]
Tātad varbūtība, ka klients pasūta picu vai makaronus, ir 0.70 jeb 70%.
Secinājums
Varbūtības pētījumos divu neizslēdzošu notikumu A un B saskaitīšanas noteikums ir ļoti svarīgs, lai noteiktu viena vai abu notikumu vienlaicīgas norises varbūtību. Izmantojot formulu \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \), var viegli aprēķināt divu notikumu, kuriem ir krustpunkts vai kopīgs elements, kopīgo varbūtību.
No iepriekš minētajiem piemēriem mēs varam redzēt, ka šī aprēķina pamatsoļu izpratne ļauj mums to pielietot dažādās situācijās, gan izglītībā, gan aptaujās, gan ikdienas dzīvē. Skaidrība un precizitāte, nosakot, kuriem notikumiem ir kopīgi elementi, ir ļoti svarīga, lai pareizi aprēķinātu varbūtību. Tāpēc pastāvīga prakse un pamatjēdzienu izpratne ievērojami palīdzēs apgūt šo tēmu.
