Piemēru jautājumi par divu izslēdzošu notikumu A un B pievienošanas noteikumu apspriešanu
Varbūtību teorijā divu notikumu summēšanas likums ir viens no pamatprincipiem, ko izmanto, lai aprēķinātu vairāku notikumu varbūtību. Šo koncepciju bieži piemēro dažādās situācijās, lai izprastu noteiktu notikumu iespējamos iznākumus. Šajā rakstā mēs apspriedīsim divu savstarpēji izslēdzošu notikumu summēšanas likumu un sniegsim piemērus, lai precizētu šo koncepciju.
Divu savstarpēji izslēdzošu notikumu saskaitīšanas noteikums
Pirmkārt, ir svarīgi saprast, ko nozīmē savstarpēji izslēdzoši notikumi. Divus notikumus sauc par nesaistītiem vai savstarpēji izslēdzošiem, ja tie nevar notikt vienlaikus. Citiem vārdiem sakot, neviens viena notikuma kopas elements nav arī cita notikuma kopas elements.
Saskaitīšanas likums varbūtību aprēķinā nosaka, ka, ja divi notikumi \(A\) un \(B\) ir savstarpēji izslēdzoši, tad jebkura notikuma \(A\) vai \(B\) varbūtība ir abu notikumu varbūtību summa. Matemātiski šo likumu var izteikt šādi:
\[P(A \tase B) = P(A) + P(B) \]
kur \(P(A \cup B)\) ir \(A\) vai \(B\) varbūtība, \(P(A)\) ir notikuma \(A\) varbūtība un \(P(B)\) ir notikuma \(B\) varbūtība.
Diskusiju jautājumu piemēri
Apspriedīsim dažus piemērus, lai precizētu divu savstarpēji izslēdzošu notikumu pievienošanas noteikuma piemērošanu.
1. jautājuma piemērs
Jautājums:
Sešskaldņu kauliņš tiek mests vienu reizi. Aprēķiniet varbūtību, ka iegūtais skaitlis ir 2 vai 4.
Diskusija:
Notikumu \(A\) varam definēt kā vērtības 2 rašanos, bet notikumu \(B\) – kā vērtības 4 rašanos. Tādējādi:
– \(P(A)\) ir vērtības 2 parādīšanās varbūtība.
– \(P(B)\) ir vērtības 4 parādīšanās varbūtība.
Tā kā kauliņam ir sešas vienādi ticamas puses, varbūtība, ka tiks uzmesta konkrēta vērtība, ir \( \frac{1}{6} \). Tātad:
\[P(A) = \frac{1}{6} \]
\[P(B) = \frac{1}{6} \]
Notikumi \(A\) un \(B\) ir savstarpēji izslēdzoši, jo vērtības 2 un 4 nevar parādīties vienlaicīgi vienā kauliņa metienā. Tāpēc, izmantojot saskaitīšanas likumu diviem savstarpēji izslēdzošiem notikumiem:
\[P(A \tase B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Tātad varbūtība, ka parādītā vērtība ir 2 vai 4, ir \( \frac{1}{3} \) jeb aptuveni 33.33 %.
2. jautājuma piemērs
Jautājums:
Maisiņā ir 10 bumbiņas, kas sastāv no 4 sarkanām un 6 zilām bumbiņām. Ja nejauši izvēlamies vienu bumbiņu, kāda ir varbūtība, ka izvilktā bumbiņa ir sarkana vai zila?
Diskusija:
Notikumu \(A\) varam definēt kā sarkanās bumbas paņemšanu un notikumu \(B\) kā zilās bumbas paņemšanu. Tādējādi:
– \(P(A)\) ir sarkanās bumbiņas izvēles varbūtība.
– \(P(B)\) ir zilās bumbiņas izvēles varbūtība.
Katra notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:
\[P(A) = \frac{\text{Sarkano bumbiņu skaits}}{\text{Kopējais bumbiņu skaits}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[P(B) = \frac{\text{Zilo bumbiņu skaits}}{\text{Kopējais bumbiņu skaits}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Notikumi \(A\) un \(B\) ir savstarpēji izslēdzoši, jo bumba nevar būt gan sarkana, gan zila. Tāpēc, izmantojot saskaitīšanas likumu diviem savstarpēji izslēdzošiem notikumiem:
\[P(A \tase B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
Tātad varbūtība, ka izvilktā bumbiņa ir vai nu sarkana, vai zila, ir 1 jeb 100%. Tas ir loģiski, jo visas maisā esošās bumbiņas ir vai nu sarkanas, vai zilas.
3. jautājuma piemērs
Jautājums:
Klasē ar 20 skolēniem, no kuriem 7 patīk matemātika, 5 patīk dabaszinības un nevienam nepatīk abas. Ja nejauši tiek izvēlēts viens skolēns, aprēķiniet varbūtību, ka šim skolēnam patīk vai nu matemātika, vai dabaszinības.
Diskusija:
Notikumu \(A\) varam definēt kā patikšanu matemātikā un notikumu \(B\) kā patikšanu zinātnē. Tādējādi:
– \(P(A)\) ir varbūtība, ka skolēnam patīk matemātika.
– \(P(B)\) ir varbūtība, ka studentam patīk zinātne.
Katra notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:
\[ P(A) = \frac{\text{Studentu skaits, kuriem patīk matemātika}}{\text{Kopējais studentu skaits}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Studentu skaits, kuriem patīk zinātne}}{\text{Kopējais studentu skaits}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
Notikumi \(A\) un \(B\) ir savstarpēji izslēdzoši, jo nevienam skolēnam nepatīk abi. Tāpēc, izmantojot saskaitīšanas likumu diviem savstarpēji izslēdzošiem notikumiem:
\[P(A \tase B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
Tātad varbūtība, ka nejauši izvēlētam skolēnam patīk vai nu matemātika, vai dabaszinības, ir \( \frac{3}{5} \) jeb 60 %.
Secinājums
Divu savstarpēji izslēdzošu notikumu saskaitīšanas noteikums ir varbūtību teorijas pamatjēdziens, kas atvieglo kopīga notikuma varbūtības aprēķināšanu. Iepriekš minētajos piemēros mēs redzējām, ka šo principu var piemērot reālās situācijās, piemēram, kauliņu mešanā, bumbiņu vilkšanā no somas vai skolēnu izvēlē no klases. Izprotot un apgūstot šo jēdzienu, mēs varam efektīvāk aprēķināt dažādu savstarpēji izslēdzošu notikumu varbūtības ikdienas dzīvē.
