Funkcijos išvestinės rašymas
Pendahuluanas
Matematikoje, ypač skaičiavime, išvestinė yra pagrindinė sąvoka, atliekanti lemiamą vaidmenį įvairiose srityse. Išvestinės naudojamos ne tik teorinėje matematikoje, bet ir moksle, inžinerijoje, ekonomikoje ir daugelyje kitų disciplinų. Šiame straipsnyje bus išsamiai aptarta funkcijos išvestinė, aptariant jos pagrindus, svarbias taisykles ir taikymo pavyzdžius.
Išvestinių finansinių priemonių pagrindai
Išvestinių finansinių priemonių apibrėžimas
Funkcijos išvestinė apibūdina funkcijos kitimo greitį jos nepriklausomo kintamojo atžvilgiu. Intuityviai išvestinę galima apibrėžti kaip liestinės, kuri liečia funkcijos grafiką tam tikrame taške, nuolydį.
Jei y = f(x), tai pirmoji funkcijos f išvestinė x atžvilgiu žymima f'(x) arba dy(dx). Formalus išvestinės apibrėžimas pateikiamas šia riba:
[f'(x) = ∫_{h₀₀₀₀₀₀}, ∫_{f(x+h) – f(x)}{h}]
Išvestinių žymėjimas
Rašant išvestines priemones, dažniausiai naudojami keli žymėjimai:
1. Leibnico žymėjimas: \( \frac{dy}{dx} \)
2. Lagranžo žymėjimas: \(f'(x) \)
3. Niutono žymėjimas: \(y' \)
4. Eulerio žymėjimas: \(Df(x) \)
Kiekvienas žymėjimas turi specifinį panaudojimą ir kontekstus, kuriuose jis dažniausiai naudojamas.
Pagrindinės diferenciacijos taisyklės
Sudėties ir atimties taisyklės
Jei f(x) ir g(x) yra dvi diferencijuojamos funkcijos, tai:
[\frac{d}{dx} [f(x) ≤ g(x)] = f'(x) ≤ g'(x)]
Daugybos taisyklės
Dviem funkcijoms \(u(x) \) ir \(v(x) \):
[\frac{d}{dx} [u(x) ≤ v(x)] = u'(x) ≤ v(x) + u(x) ≤ v'(x)]
Skyriaus taisyklės
Jei u(x) ir v(x) yra dvi funkcijos, o v(x) ≤ 0:
[d(x)/v(x)] = u(x)/v(x) – u(x)/v(x)/v(x)^2]
Grandinės taisyklė
Dviejų funkcijų (f(u) ir (u(g)) sudėčiai:
[\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Taikymo pavyzdžiai
Polinominių funkcijų išvestinės
Tarkime, kad f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 1). Norėdami rasti šios funkcijos išvestinę, taikome pagrindines diferencijavimo taisykles.
[f'(x) = ∫|dx (3x^3) – ∫|dx (5x^2) + ∫|dx (2x) – ∫|dx (1)]
_[f'(x) = 9x^2 – 10x + 2_]
Eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinės
Jei f(x) = e^x, tai eksponentinės funkcijos išvestinė yra:
_[f'(x) = e^x_]
Natūralaus logaritmo funkcijai (f(x) = ∫ln(x)):
_[f'(x) = _frac{1}{x}_]
Trigonometrinių funkcijų išvestinės
Pagrindinėms trigonometrinėms funkcijoms:
– Jei f(x) = ∈ sin(x), tai f'(x) = ∈ cos(x)
– Jei f(x) = cos(x), tai f'(x) = -sin(x)
– Jei f(x) = tan(x)), tai f'(x) = sec^2(x)
Sudėtinės funkcijos išvestinė
Tarkime, kad f(x) = ∫sin(2x)₀. Galime pritaikyti grandinės taisyklę:
[f'(x) = ∫cos(2x)^(d)^(2x) = ∫cos(2x)^(2)^(2) = 2^(2x)^(2)]
Išplėstiniai išvestiniai finansiniai instrumentai
Antrasis ir vėlesni dariniai
Antroji išvestinė yra pirmosios išvestinės funkcijos išvestinė. Jei y = f(x), tai antroji išvestinė žymima f”(x) arba d^2y(dx^2). Ir taip toliau, kai gaunama trečioji išvestinė f”'(x) arba d^3y(dx^3).
Tarkime, kad f(x) = x^4:
_[f'(x) = 4x^3_]
[f”(x) = ∫frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2]
_[f”'(x) = _d}{dx}(12x^2) = 24x_]
_[f””(x) = _d}{dx}(24x) = 24]
Išvestinių taikymas fizikoje
Fizikoje išvestinės dažnai naudojamos greičiui ir pagreičiui nustatyti. Tarkime, kad s(t) yra padėties funkcija laiko t atžvilgiu. Greitis v(t) yra pirmoji padėties išvestinė:
_[ v(t) = s'(t) _]
Pagreitis \(a(t) \) yra pirmoji greičio išvestinė arba antroji padėties išvestinė:
[a(t) = v'(t) = s”(t)]
Išvada
Funkcijos išvestinė yra pagrindinė skaičiavimo sąvoka, plačiai taikoma įvairiose srityse. Intuityvus išvestinės, kaip liestinės nuolydžio, supratimas suteikia svarbių įžvalgų apie funkcijos savybes ir elgseną. Diferencijavimo taisyklių, tokių kaip grandinės taisyklė, sandaugos taisyklė ir dalybos taisyklė, supratimas ir gebėjimas taikyti yra būtinas kiekvienam, studijuojančiam skaičiavimą. Šiame straipsnyje, pateikiant paprastus pavyzdžius ir taikymus fizikoje, tikimasi suteikti išsamų supratimą apie funkcijos išvestinės rašymą.
