Pavyzdiniai klausimai ir diskusija: atskirų duomenų dispersija ir standartinis nuokrypis
Statistika yra matematikos šaka, susijusi su duomenų rinkimu, analize, interpretavimu, pateikimu ir tvarkymu. Dvi svarbios statistikos sąvokos yra dispersija ir standartinis nuokrypis. Šiame straipsnyje bus išsamiai aptarta, kaip apskaičiuoti vieno duomenų rinkinio dispersiją ir standartinį nuokrypį, pateikiant keletą pavyzdžių.
Dispersijos ir standartinio nuokrypio supratimas
Dispersija – tai matas, kuris kiekybiškai parodo, kiek duomenų rinkinio skaičiai nukrypsta nuo vidurkio. Dispersija išreiškiama pradinių duomenų kvadratiniais vienetais, todėl ją dažnai sunku interpretuoti.
Standartinis nuokrypis yra dispersijos kvadratinė šaknis. Jis suteikia intuityvesnį matą, kiek duomenys paprastai nukrypsta nuo vidurkio, nes jo vienetai yra tokie patys kaip ir pradiniai duomenų vienetai.
Bendroji formulė
Atskirų duomenų atveju populiacijos dispersijos \( \sigma^2 \) ir standartinio nuokrypio \( \sigma \) formulė yra tokia:
1. Dispersija (σ²):
(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2)
2. Standartinis nuokrypis (σ):
(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2})
Kur:
– \(N \) yra duomenų skaičius populiacijoje.
– \(x_i \) yra i-toji duomenų reikšmė.
– \( \mu \) yra duomenų vidurkis.
Jei apskaičiuosime imties dispersiją ir standartinį nuokrypį, tai aukščiau pateikta formulė šiek tiek pakeista:
1. Imties dispersija (s²):
s^2 = ∫\frac{1}{n-1} ∫\sum_{i=1}^{n} (x_i – ∫\bar{x})^2)
2. Imties standartinis nuokrypis (-iai):
(s = ∫qrt{\frac{1}{n-1} ∫_{i=1}^{n} (x_i – ∫_bar{x})^2})
Kur:
– \(n \) yra imties duomenų skaičius.
– \( \bar{x} \) yra imties vidurkis arba vidurkis.
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1 klausimo pavyzdys:
Atsižvelgiant į šiuos duomenis:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Apskaičiuokite duomenų dispersiją ir standartinį nuokrypį!
Sprendimo žingsniai:
1. Vidurkio (vidurkio) \( \mu \) apskaičiavimas:
\[
\mu = \frak{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frak{64}{6} = 10.67
\]
2. Apskaičiuokite skirtumą tarp duomenų ir vidurkio, tada pakelkite kvadratu:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Visų kvadratinių rezultatų sudėjimas:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Populiacijos duomenų dispersijos (σ²) apskaičiavimas:
\[
ηρ² = ηρ² = 3.559
\]
Pastaba: Kadangi šie duomenys pateikiami kaip gyventojų skaičiaus duomenys, juos dalijame iš 6.
5. Standartinio nuokrypio (σ) apskaičiavimas:
\[
η = η 3.559 ∫₀ maždaug 1.886
\]
Taigi, duomenų dispersija yra 3.559, o standartinis nuokrypis – 1.886.
2 klausimo pavyzdys:
Pateikiami šie pavyzdiniai duomenys:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Apskaičiuokite imties dispersiją ir standartinį nuokrypį!
Sprendimo žingsniai:
1. Vidurkio (vidurkio) \( \bar{x} \) apskaičiavimas:
\[
∫\bar{x} = ∫\frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = ∫\frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Apskaičiuokite skirtumą tarp duomenų ir vidurkio, tada pakelkite kvadratu:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Visų kvadratinių rezultatų sudėjimas:
\[
∫(x_i – ∫(x))^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Imties dispersijos (s²) apskaičiavimas:
\[
s^2 = ∫\frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Pastaba: Kadangi tai yra pavyzdiniai duomenys, dalijame iš 5 (n-1).
5. Standartinio nuokrypio (-ių) apskaičiavimas:
\[
s = ∫qrt{5.351} \apytiksliai 2.313
\]
Taigi, imties duomenų dispersija yra 5.351, o standartinis nuokrypis – 2.313.
Išvada
Dispersijos ir standartinio nuokrypio apskaičiavimas yra labai svarbus norint suprasti, kaip duomenys pasiskirsto tam tikrame rinkinyje. Nors dispersija pateikia teorinį pradinių vienetų kvadratų sklaidos matą, standartinis nuokrypis interpretuoja sklaidos matą pagal pradinius duomenų vienetus, todėl jį lengviau suprasti. Duomenų analizėje šie du matai dažnai naudojami duomenų kintamumui įvertinti ir statistiniams sprendimams priimti.
Suprasdami būtinus veiksmus ir formules, galime lengvai apskaičiuoti dispersiją ir standartinį nuokrypį įvairiose situacijose, su kuriomis susiduriame kasdien rinkdami ir analizuodami duomenis. Tikimės, kad šis straipsnis padės geriau suprasti dispersijos ir standartinio nuokrypio sąvokas atskiruose duomenų rinkiniuose.
