Pavyzdiniai klausimai, aptariantys transformaciją Dekarto plokštumoje
Transformacijos Dekarto plokštumoje yra svarbi matematikos, ypač geometrijos, tema. Šios transformacijos apima įvairias operacijas, tokias kaip perkėlimas, atspindys, sukimas ir išplėtimas, kuriomis siekiama perkelti arba pakeisti objekto formą dvimatėje plokštumoje. Šiame straipsnyje bus apžvelgti keli pavyzdiniai uždaviniai ir aptarti jie, susiję su transformacijomis Dekarto plokštumoje.
Transformacijos tipai
Prieš pradedant nagrinėti pavyzdinę problemą, pirmiausia apžvelkime šiuos transformacijų tipus:
1. Vertimas (Shift)
Poslinkis yra taško ar objekto poslinkis plokštumoje tam tikru atstumu tam tikra kryptimi. Poslinkį galima apibrėžti taip:
\[
(x, y) \rodyklė į dešinę (x+a, y+b)
\]
kur \(a\) ir \(b\) yra horizontalus ir vertikalus poslinkio atstumai.
2. Atspindys
Atspindys yra taško arba objekto atspindys pagal ašį, nesvarbu, ar tai x ašis, y ašis, ar kita linija. Pavyzdžiui, atspindys pagal x ašį:
\[
(x, y) \rodyklė į dešinę (x, -y)
\]
3. Sukimasis (sukimasis)
Sukimas yra taško arba objekto sukimasis aplink centrinį tašką tam tikru kampu. Sukimą prieš laikrodžio rodyklę kampu \(\theta\) galima išreikšti taip:
\[
(x, y) \rodyklė dešinėn (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Išsiplėtimas (mastelio keitimas)
Dilatacija yra objekto dydžio pokytis tam tikru mastelio koeficientu. Jei mastelio koeficientas yra \(k\), dilataciją galima išreikšti taip:
\[
(x, y) \rodyklė į dešinę (kx, ky)
\]
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1 klausimas: Vertimas
Klausimas:
Atlikite perkėlimą taške \(A(2, 3)\) su 5 vienetų pasislinkimu į dešinę ir 4 vienetų pasislinkimu į viršų.
Diskusija:
Perkėlus \(5\) vienetus į dešinę, x koordinatę padidiname \(5\). Teiginys „4 vienetais į viršų“ reiškia y koordinatės padidinimą \(4\). Perkėlimo rezultatas yra:
\[
(x, y) \rodyklė į dešinę (x+5, y+4)
\]
Taigi taškas \(A(2, 3)\) po perkėlimo tampa:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
Taigi, taškas \(A(2, 3)\) po perkėlimo yra \(A'(7, 7)\).
2 klausimas: Apmąstymai
Klausimas:
Atspindėkime tašką \(B(-4, 7)\) apie y ašį.
Diskusija:
Atspindys apie y ašį pakeičia x koordinatę į neigiamą pradinės x koordinatės vertę, o y koordinatė išlieka ta pati.
\[
(x, y) \rodyklė į dešinę (-x, y)
\]
Taigi taškas \(B(-4, 7)\) po atspindžio tampa:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
Taigi, taškas \(B(-4, 7)\) po atspindžio apie y ašį yra \(B'(4, 7)\).
3 klausimas: Rotacija
Klausimas:
Pasukite tašką \(C(1, 2)\) \(90^\circ\) prieš laikrodžio rodyklę, o centras turi būti koordinačių pradžioje \(0, 0)\).
Diskusija:
Sukimasis \(90^\circ\) prieš laikrodžio rodyklę gali būti išreikštas taip:
\[
(x, y) \rodyklė į dešinę (-y, x)
\]
Taigi taškas \(C(1, 2)\) po pasukimo tampa:
\[
(x, y) \rodyklė į dešinę (-2, 1)
\]
Taigi, taškas \(C(1, 2)\) po \(90^\circ\) pasukimo prieš laikrodžio rodyklę yra \(C'(-2, 1)\).
4 klausimas: Išsiplėtimas
Klausimas:
Išplėskite tašką \(D(3, 4)\) su mastelio koeficientu \(k = 2\).
Diskusija:
Išplėtimas su mastelio koeficientu \(2\) reiškia abiejų koordinačių dauginimą iš \(2\).
\[
(x, y) \rodyklė į dešinę (2x, 2y)
\]
Taigi taškas \(D(3, 4)\) po išsiplėtimo tampa:
\[
(x, y) \rightarrow (2 × 3, 2 × 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Taigi, taškas \(D(3, 4)\) po išplėtimo su mastelio koeficientu \(2\) yra \(D'(6, 8)\).
5 klausimas: Transformacijų derinimas
Klausimas:
Atspindėkite apie x ašį ir tada išplėskite mastelio koeficientu \(k = 0.5\) taške \(E(8, -6)\).
Diskusija:
Pirmas žingsnis – apmąstyti x ašį:
\[
(x, y) \rodyklė į dešinę (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rodyklė į dešinę (8, 6)
\]
Antras žingsnis – atlikti išplėtimą su mastelio koeficientu \(0.5\):
\[
(x, y) \rodyklė į dešinę (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 × 8, 0.5 × 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Taigi, taškas \(E(8, -6)\) po atspindžio apie x ašį ir išplėtimo mastelio koeficientu \(0.5\) yra \(E'(4, 3)\).
6 klausimas: Transformacija su sukimu ir poslinkiu
Klausimas:
Pasukite tašką \(F(-3, 4)\) \(180^\circ\) prieš laikrodžio rodyklę, tada perkelkite rezultatą vektoriumi \(2, -1)\).
Diskusija:
Pirmas žingsnis – pasukti 180° kampu prieš laikrodžio rodyklę:
\[
(x, y) \rodyklė į dešinę (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rodyklė į dešinę (3, -4)
\]
Antras žingsnis – atlikti perkėlimą su vektoriumi \((2, -1)\):
\[
(x, y) \rodyklė į dešinę (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]
Taigi, taškas \(F(-3, 4)\) po pasukimo \(180^\circ\) ir perkėlimo vektoriumi \(2, -1)\) yra \(F'(5, -5)\).
Išvada
Transformacijos Dekarto plokštumoje yra svarbi geometrijos sąvoka, apimanti įvairias operacijas, tokias kaip perkėlimas, atspindys, sukimas ir išplėtimas. Suprasdami, kaip veikia kiekvienas transformacijos tipas, galime lengvai pakeisti objekto padėtį ar formą plokštumoje. Iš pateiktų pavyzdžių galime pamatyti praktinį įvairių transformacijų pritaikymą ir kaip jas galima derinti, kad būtų pasiektos sudėtingesnės transformacijos. Tikimės, kad šis straipsnis padėjo suprasti transformacijas Dekarto plokštumoje.
