Pavyzdiniai klausimai, aptariantys pagrindinę skaičiavimo teoremą
Skaičiavimas yra svarbi matematikos šaka, apimanti ribų, išvestinių ir integralų sąvokas. Pagrindinė skaičiavimo teorema (FDTC) yra viena iš fundamentaliausių teoremų, jungiančių šias sąvokas. Šiame straipsnyje nagrinėsime pagrindinės skaičiavimo teoremos apibrėžimą ir taikymą, pateikdami pavyzdžių ir aptardami problemas.
Pagrindinės skaičiavimo teoremos supratimas
Pagrindinė skaičiavimo teorema susideda iš dviejų pagrindinių dalių:
1. Pirma dalis: Jei \(f \) yra tolydi funkcija intervale \([a, b]\), o \(F \) yra \(f \) antiderivatyvas tame intervale, tai:
[ int_a^bf(x) , dx = F(b) – F(a) ]
2. Antra dalis: Jei \(f \) yra tolydi funkcija intervale \([a, b]\), ir mes apibrėžiame funkciją \(F \) taip:
F(x) = ∫a^xf(t), dt]
tada \(F \) yra \(f \) antideriatyvas, būtent:
[F'(x) = f(x)]
Supratę pagrindinę sąvoką, pereikime prie kelių pavyzdinių klausimų ir jų aptarimų, kad paaiškintume pagrindinės skaičiavimo teoremos taikymą.
Diskusijų klausimų pavyzdžiai
1 pavyzdžio uždavinys: pirmosios pagrindinės skaičiavimo teoremos dalies panaudojimas
Klausimas:
Duota funkcija f(x) = 3x^2. Apskaičiuokite neapibrėžtinį funkcijos f(x) integralą nuo x = 1 iki x = 4.
Diskusija:
Norint išspręsti šią problemą, reikia rasti funkcijos f(x) antiderivatyvą F(x).
1 veiksmas: raskite funkcijos f(x) = 3x^2 antiderivatyvą F(x).
[ int 3x^2 , dx = x^3 + C ]
Taigi, \(F(x) = x^3 \).
2 veiksmas: Apskaičiuokite F(x) reikšmę ties duotomis integralo ribomis.
[ int_1^4 3x^2 , dx = F(4) – F(1) ]
\[ = 4^3 – 1^3 \]
\[ = 64 – 1 \]
\[ = 63 \]
Taigi, integralinė vertė yra 63.
2 pavyzdžio klausimas: Antrosios pagrindinės skaičiavimo teoremos dalies panaudojimas
Klausimas:
Jei \(F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \), raskite \(F(x) \) išvestinę.
Diskusija:
Pagal antrąją pagrindinės skaičiavimo teoremos dalį, jei F(x) = axf(t), dt, tai F'(x) = f(x).
Pagal susidariusią situaciją:
F(x) = √₀²^x (2t + 1)₀, dt₀]
Tada \(F(x) \) išvestinė yra:
\[F'(x) = 2x + 1 \]
3 pavyzdys: Pagrindinės skaičiavimo teoremos taikymas su sudėtingesnėmis funkcijomis
Klausimas:
Duota f(x) = sqrt{x}). Apskaičiuokite neapibrėžtinį f(x) integralą nuo x = 0 iki x = 4.
Diskusija:
1 veiksmas: raskite funkcijos f(x) = ∈ sqrt{x} antiderivatyvą F(x).
[ ∫qrt{x}, dx = ∫x^{1/2}, dx]
Naudokite pagrindines integralų taisykles:
[ int x^n , dx = √(x^{n+1}}{n+1} + C]
Taigi:
[ int x^{1/2} , dx = ∫{x^{3/2}}{3/2} + C]
\[ = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \]
Taigi, \(F(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} \).
2 veiksmas: Apskaičiuokite F(x) reikšmę ties duotomis integralo ribomis.
[ int_0^4 √(x), dx = F(4) – F(0)]
\[ = \left( \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} \right) – \left( \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} \right) \]
\[ = \frac{2}{3} \cdot 8 – 0 \]
[ = 16}, {3}]
Taigi, integralo reikšmė yra \( \frac{16}{3} \).
4 pavyzdžio klausimas: Integravimas su trupmeninėmis funkcijomis
Klausimas:
Integruokite f(x) = \frac{2}{x} nuo x = 1 iki x = 3.
Diskusija:
1 veiksmas: raskite funkcijos f(x) = ∫(x) antiderivatą F(x) ∫(x).
[\int \frac{2}{x} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx \]
Mes žinome, kad:
[ int \frac{1}{x} , dx = ln |x| +C]
Taigi:
[\int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x| +C\]
Ir (F(x) = 2 ∫ln |x|).
2 veiksmas: Apskaičiuokite F(x) reikšmę ties duotomis integralo ribomis.
[\int_1^3 \frac{2}{x} \, dx = F(3) – F(1) \]
\[ = 2 \ln |3| – 2 \ln |1| \]
\[ = 2 √ln3 – 2 √ln1 \]
\[ = 2 \ln 3 – 0 \]
\[ = 2 \ln 3 \]
Taigi, integralo reikšmė yra \(2 \ln 3 \).
5 pavyzdžio klausimas: Trigonometrinių funkcijų integralas
Klausimas:
Integruokite f(x) = ∫sin x nuo x = 0 iki x = π.
Diskusija:
1 veiksmas: raskite funkcijos f(x) = ∈ sin x antiderivatyvą F(x).
[ int ∈ sin x , dx = - cos x + C ]
Ir (F(x) = -cos x).
2 veiksmas: Apskaičiuokite F(x) reikšmę ties duotomis integralo ribomis.
[ int_0^\pi ∫x, dx = F(\pi) – F(0)]
\[ = -\cos(\pi) – (-\cos(0)) \]
_[ = -(-1) – (-1) _]
\[ = 1 – (-1) \]
\[ = 1 + 1 \]
\[ = 2 \]
Taigi, integralinė vertė yra 2.
Išvada
Pagrindinė skaičiavimo teorema yra galingas įrankis skaičiavime ir matematikoje apskritai. Susiedama išvestines ir integralus, ši teorema leidžia mums apskaičiuoti plotą po kreive ir išsamiau suprasti funkcijos pokytį. Šios teoremos supratimas ir taikymo įvaldymas praktikos būdu yra raktas į sėkmingą skaičiavimą. Šis straipsnis tik šiek tiek apžvelgia, ką galima pasiekti taikant pagrindinę skaičiavimo teoremą, bet, tikiuosi, pateikia aiškų vaizdą, kaip dirbti su viena iš fundamentaliausių matematinių sąvokų.
