Pavyzdinės problemos, aptariančios matematinį sukimąsi
Pendahuluanas
Sukimas yra geometrinė transformacija, dažnai sutinkama matematikoje, ypač geometrijoje. Sukimas apima objekto sukimą aplink konkretų tašką (sukimosi centrą) tam tikru kampu pagal laikrodžio rodyklę arba prieš laikrodžio rodyklę. Sukimosi sąvoka yra labai svarbi tokiose srityse kaip kompiuterinė grafika, fizika ir inžinerija. Šiame straipsnyje bus nagrinėjami įvairūs sukimosi matematikoje pavyzdžiai ir diskusijos.
Rotacijos supratimas
Sukimas yra transformacija, kurios metu kiekvienas objekto taškas perkeliamas sukant jį apie fiksuotą tašką, vadinamą sukimosi centru, tam tikru kampu tam tikra kryptimi. Bendras sukimosi su kampu θ ir sukimosi centru (a, b) žymėjimas gali būti užrašytas kaip R_(a, b)(θ).
Jei taškas P(x, y) yra pasuktas θ laipsniais, o sukimosi centras yra koordinačių pradžioje (0, 0), naujos taško P'(x', y') koordinatės po pasukimo bus gautos pagal formulę:
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Tęskime keletą rotacijos uždavinių pavyzdžių su jų aptarimu.
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1 pavyzdžio klausimas
Klausimas: Nustatykite taško A(3, 4) naujas koordinates pasukus jį 90 laipsnių prieš laikrodžio rodyklę, kai sukimosi centras yra pradžios taške (0, 0).
Diskusija: Naudojant sukimosi formulę su 90 laipsnių kampu prieš laikrodžio rodyklę:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Taigi, naujos A' koordinatės po pasukimo yra (-4, 3).
2 pavyzdžio klausimas
Klausimas: Taškas B(2, -1) pasuktas 180 laipsnių kampu pagal laikrodžio rodyklę, o sukimosi centras lieka pradžios taške (0, 0). Nustatykite naujas taško B koordinates po pasukimo.
Diskusija: Pasukimas 180 laipsnių kampu pagal laikrodžio rodyklę arba prieš laikrodžio rodyklę duoda tą patį rezultatą, t. y. taško koordinatės pasikeičia į (-x, -y).
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Taigi, naujos B' koordinatės yra (-2, 1).
3 pavyzdžio klausimas
Klausimas: Taškas C(-3, 5) pasuktas 270 laipsnių prieš laikrodžio rodyklę, o sukimosi centras yra koordinačių pradžioje (0, 0). Nustatykite tašką C po pasukimo.
Diskusija: 270 laipsnių sukimasis prieš laikrodžio rodyklę atitinka 90 laipsnių sukimąsi pagal laikrodžio rodyklę.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Taigi, naujos C' koordinatės po pasukimo yra (5, -3).
4 pavyzdžio klausimas
Klausimas: Nustatykite naujas taško D(5, 5) koordinates pasukus jį 45 laipsniais, kai sukimosi centras yra pradžios taške (0, 0).
Diskusija: Naudojant sukimosi formulę su 45 laipsnių kampu:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Taigi, naujos D' koordinatės po pasukimo yra (0, 5√2).
Sukimasis, kai sukimosi centras nėra pradžios taške
Sukimai ne visada atliekami apie pradžios tašką. Pavyzdžiui, tarkime, kad norime pasukti tašką, kurio sukimosi centras yra (h, k). Norėdami tai padaryti, turime pakoreguoti koordinates taip:
1. Perkelkite tašką taip, kad (h, k) taptų koordinačių pradžios tašku.
2. Naudokite sukimo formulę.
3. Grąžinkite į pradinę padėtį.
5 pavyzdžio klausimas
Klausimas: Taškas E(5, 7) pasuktas 90 laipsnių prieš laikrodžio rodyklę, o sukimosi centras yra taške (2, 3). Nustatykite naujas taško E koordinates po pasukimo.
Diskusija:
1. Perkelkite tašką E į pradžios tašką sukimosi centro atžvilgiu (2, 3):
– Naujas taškas E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Pasukite 90 laipsnių kampu prieš laikrodžio rodyklę aplink naują tašką:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Taigi, koordinatės po pasukimo yra (-4, 3).
3. Grąžinimas į pradinę padėtį sukimosi centro atžvilgiu (2, 3):
– Galinis taškas E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Taigi, naujos taško E koordinatės po pasukimo yra (-2, 6).
Išvada
Matematinių sukimų analizė ir supratimas yra labai svarbus įvairiose srityse. Remdamiesi aukščiau pateiktais pavyzdžiais ir diskusijomis, skaitytojai turėtų suprasti, kaip veikia sukimo formulės ir kaip jas galima pritaikyti skirtingose situacijose. Šis pratimas ne tik įtvirtina pagrindinius matematikos įgūdžius, bet ir yra naudingas kitose srityse, susijusiose su geometrinėmis transformacijomis.
