Pavyzdiniai klausimai, aptariantys funkcijų išvestinių rašymą
Funkcijos išvestinė yra pagrindinė skaičiavimo sąvoka, dažnai naudojama įvairiose mokslo srityse, tokiose kaip fizika, ekonomika, biologija ir inžinerija. Funkcijos išvestinė matuoja, kaip greitai jos vertė kinta atsižvelgiant į nepriklausomų kintamųjų pokyčius. Šiame straipsnyje aptarsime keletą pavyzdžių, susijusių su funkcijos išvestinės užrašymu, su paaiškinimais.
1 pavyzdžio klausimas: paprastų funkcijų išvestinė
Klausimas: Raskite pirmąją funkcijos išvestinę (f(x) = 3x^2 + 5x + 7).
Diskusija:
Norėdami nustatyti funkcijos f(x) pirmąją išvestinę, naudojame pagrindines diferencijavimo taisykles, būtent:
\[
d(ax^n) = anx^{n-1}
\]
Taigi, kiekvieno funkcijos nario išvestinę galime apskaičiuoti taip:
\[
f'(x) = ∫\frac{d}{dx}(3x^2) + ∫\frac{d}{dx}(5x) + ∫\frac{d}{dx}(7)
\]
\[
f'(x) = 3 ∫ 2x^{2-1} + 5 ∫ 1x^{1-1} + 0
\]
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Taigi, pirmoji funkcijos \(f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \) išvestinė yra \(f'(x) = 6x + 5 \).
2 pavyzdžio klausimas: Trigonometrinių funkcijų išvestinės
Klausimas: Raskite pirmąją funkcijos išvestinę ( g(x) = sin(x) + cos(x) ).
Diskusija:
Trigonometrinėms funkcijoms naudojame pagrindines išvestinių taisykles:
\[
∫\frac{d}{dx}(sin(x)) = ∫\cos(x)
\]
\[
∫\frac{d}{dx}(cos(x)) = -sin(x)
\]
Taigi:
\[
g'(x) = ∫\frac{d}{dx}(sin(x)) + ∫\frac{d}{dx}(cos(x))
\]
\[
g'(x) = ∫cos(x) – ∫sin(x)
\]
Taigi, pirmoji funkcijos θ(x) = θsin(x) + θcos(x)) išvestinė yra θ(g'(x) = θcos(x) – θsin(x)).
3 pavyzdžio klausimas: daugybos funkcijos išvestinė
Klausimas: Raskite pirmąją funkcijos išvestinę ( h(x) = x^2 sin(x) ).
Diskusija:
Funkcijoms, kurios yra dviejų funkcijų sandauga, naudojame daugybos taisyklę:
\[
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Tarkime, kad u(x) = x^2 ir v(x) = sin(x). Tada:
\[
u'(x) = ∫\frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]
\[
v'(x) = ∫\frac{d}{dx}(sin(x)) = ∫\cos(x)
\]
Naudodami daugybos taisyklę, galime parašyti:
\[
h'(x) = [x^2]' ∫sin(x) + x^2 [∫sin(x)]'
\]
\[
h'(x) = 2x ∈ sin(x) + x^2 ∈ cos(x)
\]
Taigi, pirmoji funkcijos θ(h(x) = x^2 ∈sin(x)) išvestinė yra θ(h'(x) = 2x ∈sin(x) + x^2 ∈cos(x)).
4 pavyzdžio klausimas: Sudėtinės funkcijos išvestinė
Klausimas: Raskite pirmąją funkcijos išvestinę (k(x) = ∫(x^2)).
Diskusija:
Funkcijoms, kurios yra dviejų funkcijų sudėtis, naudojame grandinės taisyklę:
\[
∫\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) ∫\cdot g'(x)
\]
Tegu f(u) = ∫(u) ir u = x^2. Tada f'(u) = ∫(u) ir g'(x) = ∫(dx)(x^2) = 2x).
Naudodami grandinės taisyklę, galime parašyti:
\[
k'(x) = ∫\frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = ∫\cos(x^2) ∫\cdot 2x
\]
Taigi, pirmoji funkcijos θ(x) = θsin(x^2) išvestinė yra θk'(x) = 2x θcos(x^2)).
5 pavyzdžio klausimas: Racionaliųjų funkcijų išvestinė
Uždavinys: Raskite pirmąją funkcijos išvestinę ( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} ).
Diskusija:
Funkcijoms, kurios yra dviejų funkcijų dalmuo, naudojame dalmens taisyklę:
\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
Tarkime, kad u(x) = 2x ir v(x) = x^2 + 1. Tada:
\[
u'(x) = 2
\]
\[
v'(x) = ∫\frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]
Naudodami koeficiento taisyklę, galime parašyti:
\[
m'(x) = ∫[2x]'(x^2 + 1) – 2x[x^2 + 1]'}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = ∫²(x^2 + 1) – 2x ∫²(x^2 + 1)^2)
\]
\[
m'(x) = ∫²⁻² + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = ∫(2x^2 – 2)}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = ∫² – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
Taigi, pirmoji funkcijos θ(m(x) = θ(2x)/(x^2 + 1)) išvestinė yra θ(m'(x) = θ(2 – 2x^2)/(x^2 + 1)^2).
Išvada
Šiame straipsnyje aptarėme keletą uždavinių, susijusių su funkcijų išvestinėmis, pavyzdžių – nuo paprastų funkcijų iki trigonometrinių funkcijų, daugybos, sudėties ir racionaliųjų funkcijų. Kiekviename pavyzdyje demonstruojamas tinkamas išvestinių taisyklių, tokių kaip pagrindinė taisyklė, grandinės taisyklė, daugybos taisyklė ir dalmens taisyklė, naudojimas. Supratimas, kaip taikyti šias taisykles, yra labai svarbus sprendžiant sudėtingesnius skaičiavimo uždavinius įvairiose disciplinose. Pakartotinė praktika ir mokymai padės sustiprinti jūsų supratimą ir įgūdžius diferencijuojant funkcijas.
