Pavyzdiniai klausimai ir integralinių taikymų aptarimas
Integravimas yra pagrindinė skaičiavimo sąvoka, turinti daug pritaikymų įvairiose mokslo srityse, tokiose kaip fizika, ekonomika, biologija ir inžinerija. Integralai naudojami plotui po kreive, kietojo kūno tūriui, darbui, slėgiui ir kt. apskaičiuoti. Šiame straipsnyje aptarsime kelis integralų taikymo pavyzdžius, o po to pateiksime išsamius paaiškinimus, kaip juos spręsti.
1. Ploto po kreive nustatymas
Vienas iš labiausiai paplitusių integralų taikymų yra funkcijos kreivės ploto per tam tikrą intervalą apskaičiavimas. Tarkime, kad norime rasti srities, apribotos kreive \(y = x^2\) ir \(x\) ašimi nuo \(x = 0\) iki \(x = 2\), plotą.
Problemų pavyzdys:
Apskaičiuokite plotą po kreive \(y = x^2\) nuo \(x = 0\) iki \(x = 2\).
Diskusija:
Norint rasti plotą po kreive \(y = x^2\) nuo \(x = 0\) iki \(x = 2\), reikia apskaičiuoti funkcijos apibrėžtinį integralą:
[ int_{0}^{2} x^2 , dx ]
1 veiksmas: nustatykite \(x^2\) integralą.
Atkreipkite dėmesį, kad \(x^2\) integralas yra:
[ int x^2 , dx = √(x^3}{3} + C]
2 veiksmas: Taikykite integralinę ribą \(0\) iki \(2\).
[\int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]
3 veiksmas: apskaičiuokite ribinę vertę.
\[ \kair. \frac{x^3}{3} \dešinėn|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
Taigi, plotas po kreive \(y = x^2\) nuo \(x = 0\) iki \(x = 2\) yra \( \frac{8}{3} \) ploto vienetų.
2. Besisukančių objektų tūrio apskaičiavimas
Integralai taip pat naudojami sukimosi kūnų tūriui apskaičiuoti. Jei sritis pasukama apie x ašį, objekto tūrį galima rasti disko arba žiedo metodu.
Problemų pavyzdys:
Apskaičiuokite objekto tūrį, susidarantį pasukus kreivės \(y = \sqrt{x}\) ir tiesės \(x = 4\) apribotą sritį aplink \(x\) ašį.
Diskusija:
Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, galime naudoti disko metodą. Gautos kūno tūris \(V\) gali būti išreikštas taip:
[V = ∫_{a}^{b} [f(x)]^2, dx]
Kur f(x) = ∈ sqrt{x}, a = 0 ir b = 4.
1 veiksmas: suformuokite tūrinį integralą.
[V = ∫_{0}^{4} (∫_{x})^2, dx]
2 veiksmas: supaprastinkite funkciją integrale.
[V = ∫_{0}^{4} x, dx]
3 veiksmas: nustatykite \(x\) integralą.
[ int x , dx = √(x^2}{2} + C]
4 veiksmas: Taikykite ribas nuo \(0\) iki \(4\).
\[V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \]
5 veiksmas: apskaičiuokite ribinę vertę.
\[ \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} \right) = 8\pi \]
Taigi, gauto objekto tūris yra \(8\pi\) tūrio vienetų.
3. Kintamos jėgos atlikto darbo apskaičiavimas
Integraliniai taikymai taip pat randami fizikoje, vienas iš jų yra kintamos jėgos atliekamo darbo apskaičiavimas, kai objektas juda iš vieno taško į kitą.
Problemų pavyzdys:
Jėga \(F(x) = 3x^2\) Niutonas veikia dalelę, judančią iš \(x = 1\) metro į \(x = 3\) metrus. Apskaičiuokite jėgos atliktą darbą.
Diskusija:
Jėgos F(x) atliktą darbą W galima rasti apskaičiuojant F(x) integralą per poslinkį nuo a iki b:
W = ∫_{a}^{b} F(x) ∫_{dx}
Kur \(a = 1\), \(b = 3\) ir \(F(x) = 3x^2\).
1 veiksmas: suformuokite darbo integralą.
W = ∫_{1}^{3} 3x^2, dx]
2 veiksmas: nustatykite \(3x^2\) integralą.
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^3 + C \]
3 veiksmas: Taikykite ribas nuo \(1\) iki \(3\).
\[ W = \kairė[ x^3 \dešinė]_{1}^{3} \]
4 veiksmas: apskaičiuokite ribinę vertę.
\[ W = \kairė. x^3 \dešinė|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
Taigi, jėgos atliktas darbas yra \(26\) džaulių.
4. Hidrostatinio slėgio nustatymas
Fizikoje integralai taip pat naudojami hidrostatiniam slėgiui ant skystyje panardinto paviršiaus apskaičiuoti.
Problemų pavyzdys:
Vertikali 6 metrų aukščio ir 4 metrų pločio plokštė panardinta į vandenį taip, kad jos viršus būtų virš vandens paviršiaus. Apskaičiuokite bendrą vandens slėgio jėgą, veikiančią plokštę.
Diskusija:
Slėgis vandens \(h\) gylyje apskaičiuojamas pagal \(P = \rho\gh\), kur \(\rho\) yra vandens tankis (apie \(1000 \text{ kg/m}^3\)), o \(g\) yra gravitacijos pagreitis (apie \(9.8 \text{ m/s}^2\)).
Norėdami apskaičiuoti bendrą slėgio jėgą, turime integruoti slėgį per vertikalų plokštės plotą.
1 veiksmas: nustatykite slėgio funkciją.
\[P(y) = \rho gy \]
2 veiksmas: Bendra jėga (F) yra slėgio ir elementariojo ploto (dA) sandauga nuo (y = 0) iki (y = 6).
\[F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
3 veiksmas: supaprastinkite konstantas.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
4 veiksmas: nustatykite \(y\) integralą.
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
5 veiksmas: Taikykite ribas nuo \(0\) iki \(6\).
\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{6} \]
6 veiksmas: apskaičiuokite ribinę vertę.
\[F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot \frac{6^2}{2} = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot 18 = 705600 \]
Taigi, bendra vandens slėgio jėga, veikianti plokštę, yra \(705600\) niutonų.
Išvada
Integralų naudojimas įvairiose srityse suteikia didžiulę analitinę galią skaičiuojant sudėtingus fizikinius dydžius. Šiame straipsnyje aptarėme, kaip integralai taikomi plotui po kreive, sukimosi kūno tūriui, kintamos jėgos atliktam darbui ir hidrostatiniam slėgiui apskaičiuoti. Gerai suprasdami integravimo metodus, galime išspręsti įvairias praktines problemas, kylančias mokslo ir inžinerijos srityse.
