Pavyzdiniai klausimai, aptariantys sudėtinių įvykių tikimybę
Įvadas į sudėtinių įvykių tikimybę
Tikimybė yra matematikos šaka, tirianti įvykio tikimybę. Sudėtinio įvykio tikimybė yra tikimybė, kad įvykis apima daugiau nei vieną įvykį. Pavyzdžiui, lyginio skaičiaus išridenimo kauliuku ir tūzo iš kortų kaladės tikimybė yra sudėtinių įvykių pavyzdžiai. Šiame straipsnyje bus aptarti keli pavyzdiniai uždaviniai ir aptarta sudėtinių įvykių tikimybė.
Sudėtinių įvykių tikimybės pagrindinė sąvoka
Yra dviejų tipų sudėtiniai įvykiai:
1. Vienas kitą paneigiantys įvykiai: du įvykiai, kurie negali įvykti vienu metu. Pavyzdžiui, ridenant kauliuką, 2 ir 5 ridenimo įvykiai yra vienas kitą paneigiantys įvykiai, nes neįmanoma išridenti abiejų skaičių vienu metu.
2. Vienas kito nepaneigiantys įvykiai: du įvykiai, kurie gali įvykti vienu metu. Pavyzdžiui, traukiant kortas, įvykiai, kai gaunama širdelės korta (♥) ir korta su skaičiumi 10, yra vienas kito nepaneigiantys įvykiai, nes yra širdelės korta su skaičiumi 10.
Štai kelios pagrindinės formulės, naudojamos sudėtinių įvykių tikimybei apskaičiuoti:
– P(A arba B) (vienas kito nepaneigiantiems įvykiams): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A arba B) (viena kitą paneigiantiems įvykiams): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A ir B) (nepriklausomiems įvykiams): ∫(P(A ∫B) = P(A) × P(B))
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1 klausimo pavyzdys: Kauliukai
Klausimas:
Kokia tikimybė, kad kauliuku iškris lyginis skaičius arba skaičius, didesnis nei 4?
Diskusija:
Pirmiausia apibrėžkime įvykius:
– Įvykis A: Gauname lyginį skaičių (2, 4, 6)
– Įvykis B: Gaunamas skaičius, didesnis nei 4 (5, 6)
Toliau nustatome kiekvieno įvykio tikimybę:
– ∫(P(A) = ∫(3)(6) = ∫(1)(2))
– ∫(P(B) = ∫(26) = ∫(13))
Kadangi skaičius 6 yra įtrauktas į abu įvykius A ir B, turime apskaičiuoti \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (nes ir A, ir B yra tik vienas skaičius, būtent 6)
Naudojant formulę tarpusavyje nesuderinamiems įvykiams:
\[P(A ≤ B) = P(A) + P(B) – P(A ≤ B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Padarykime šių trupmenų vardiklius vienodus:
\[P(A \puodelis B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Taigi, lyginio skaičiaus arba skaičiaus, didesnio už 4, gavimo tikimybė yra \(\frac{2}{3}\).
2 klausimo pavyzdys: Žaidimo kortos
Klausimas:
Kokia tikimybė iš kortų kaladės gauti tūzą arba piką?
Diskusija:
Pirmiausia apibrėžkime įvykius:
– Įvykis A: Gauti tūzo kortą (iš viso 4, po vieną kiekvienai rūšiai)
– B įvykis: gauti piko kortą (iš viso 13)
Toliau nustatome kiekvieno įvykio tikimybę:
– ∫(P(A) = ∫(4)(52) = ∫(1)(13))
– ∫(P(B) = ∫(26) = ∫(13))
Kadangi Pikų tūzas yra įtrauktas į abu įvykius A ir B, turime apskaičiuoti \(P(A \cap B)\):
– ∫(P(A ∫B) = ∫(1 52))
Naudojant formulę tarpusavyje nesuderinamiems įvykiams:
\[P(A ≤ B) = P(A) + P(B) – P(A ≤ B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Padarykime šių trupmenų vardiklius vienodus:
\[
P(A ≈ B) = ∫₀ (452) + ∫₀ (1352) – ∫₀ (152) = ∫₀ (1652) = ∫₀ (413)
\]
Taigi, tikimybė gauti tūzą arba piką yra \(\frac{4}{13}\).
3 uždavinio pavyzdys: Kamuolys dėžėje
Klausimas:
Dėžutėje yra 3 raudoni, 4 mėlyni ir 5 žali kamuoliukai. Jei atsitiktinai ištraukiamas vienas kamuoliukas, kokia tikimybė, kad ištrauksite raudoną arba žalią kamuoliuką?
Diskusija:
Pirmiausia apibrėžkime įvykius:
– Įvykis A: Raudono kamuoliuko gavimas (3 numeris)
– B įvykis: Žalio kamuoliuko gavimas (5 numeris)
Toliau nustatome kiekvieno įvykio tikimybę:
– Bendras kamuoliukų skaičius = 3 + 4 + 5 = 12
– ∫(P(A) = ∫(3)(12) = ∫(1)(4))
– ∫(P(B) = ∫(5)(12))
Kadangi joks kamuoliukas negali būti ir raudonas, ir žalias tuo pačiu metu, šie įvykiai yra vienas kitą paneigiantys:
\[P(A \puodelis B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Padarykime šių trupmenų vardiklius vienodus:
\[
P(A ≈ B) = ∫₀ (312) + ∫₀ (512) = ∫₀ (812) = ∫₀ (23)
\]
Taigi, tikimybė gauti raudoną arba žalią kamuoliuką yra \(\frac{2}{3}\).
4 klausimo pavyzdys: dvi monetos
Klausimas:
Jei vienu metu metamos dvi monetos, kokia tikimybė, kad iškris bent viena iš jų?
Diskusija:
Įvykį A apibrėžiame kaip bent vieno vaizdo patyrimą.
Metant dvi monetas, galimi keturi rezultatai:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Įvykiai, kuriuose yra bent vienas paveikslėlis, yra šie:
– HT
– TH
– TT
Apskaičiuokime kiekvienos tikimybės dydį:
– Galimų įvykių skaičius (iš viso): 4
– Įvykių, kuriuose yra bent vienas vaizdas, skaičius: 3
\[
P(A) = \frac{Įvykių su bent viena antrašte skaičius}{Bendras įvykių skaičius} = \frac{3}{4}
\]
Taigi, bent vieno paveikslėlio atsiradimo tikimybė yra \(\frac{3}{4}\).
Išvada
Aukščiau pateiktų uždavinių aptarimas parodo, kaip galime apskaičiuoti sudėtinio įvykio tikimybę, nesvarbu, ar jis vienas kitą paneigia, ar nepaneigia. Suprasdami pagrindines sąvokas ir naudodami teisingas formules, galime nustatyti tam tikrų įvykių derinių tikimybę įvairiose kasdienėse situacijose. Toliau praktikuokite savo įgūdžius spręsdami įvairius uždavinius, kad geriau išmoktumėte nustatyti sudėtinių įvykių tikimybę.
