Pavyzdiniai klausimai, aptariantys normalaus skirstinio laukiamą vertę
Normalusis skirstinys, dar žinomas kaip Gauso skirstinys, yra vienas iš dažniausiai statistikoje ir tikimybių teorijoje naudojamų tolydžių tikimybių skirstinių. Šis skirstinys dažnai naudojamas kaip pagrindinė prielaida įvairiose statistinėse išvadose dėl savo palankių matematinių savybių, tokių kaip simetrija ir unikalumas parametruojant su vidurkiu (µ) ir standartiniu nuokrypiu (σ). Šiame straipsnyje bus aptarti pavyzdžiai ir aptarta normalaus skirstinio tikėtina vertė, siekiant geriau suprasti šią sąvoką.
Normalaus pasiskirstymo supratimas
Normalųjį skirstinį vaizduoja simetriška varpo kreivė, kurioje dauguma reikšmių susitelkusios aplink vidurinę reikšmę arba vidurkį. Šiame skirsinyje vidurkis (µ) ir standartinis nuokrypis (σ) yra du svarbūs parametrai, lemiantys sklaidos vietą ir dydį duomenyse.
Normalaus skirstinio tikimybės tankio funkcija (PDF) yra:
[f(x) = ∫₀ (2π)^2) e^{-(x – μ)^2}{2π^2}]
mano:
– \( \mu \) yra vidurkis arba vidurkis
– \( \sigma \) yra standartinis nuokrypis
– \(x \) yra atsitiktinis kintamasis
Laukiama vertė normaliame skirstinyje
Atsitiktinio kintamojo, turinčio normalųjį skirstinį, laukiama reikšmė yra lygi skirstinio vidurkiui. Jei \(X \sim N(\mu, \sigma^2) \), tai laukiama reikšmė \(E(X) \) yra:
\[ E(X) = \mu \]
Tęskime keletą pavyzdžių, susijusių su numatomomis reikšmėmis normaliuose skirsiniuose, kad sustiprintume savo supratimą.
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1 klausimo pavyzdys:
Tarkime, kad ∈ X yra normalaus pasiskirstymo atsitiktinis kintamasis, kai ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ 50 ir ∈ ∈ 10. Apskaičiuokite ∈ X tikėtiną reikšmę.
Diskusija:
Kaip minėta anksčiau, esant normaliam skirstiniui, tikėtina reikšmė Σ(X) yra lygi Σ. Taigi,
\[E(X) = \mu = 50 \]
2 klausimo pavyzdys:
Duotas atsitiktinis kintamasis \(Y \) yra normalaus pasiskirstymo su \( \mu = 120 \) ir \( \sigma = 15 \). Raskite \(Y \) tikėtiną reikšmę.
Diskusija:
Panašiai kaip ir pirmame pavyzdyje, tikėtina \(Y \) reikšmė yra normalaus skirstinio vidurinė reikšmė arba vidurkis, t. y.:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
3 klausimo pavyzdys:
Jei atsitiktinis kintamasis \(Z \) atitinka normalųjį skirstinį su \( \mu = 0 \) ir \( \sigma = 1 \) (standartinis normalusis skirstinys), kokia yra \(Z \) laukiama reikšmė?
Diskusija:
Standartinio normalaus skirstinio vidurkis yra \mu = 0 \), todėl tikėtina reikšmė \( E(Z) \) yra:
\[E(Z) = \mu = 0 \]
4 klausimo pavyzdys:
Tarkime, kad W yra normalaus pasiskirstymo atsitiktinis kintamasis, kurio vidurkis yra 75, o standartinis nuokrypis – 20. Jei apibrėšime naują atsitiktinį kintamąjį V = 2W + 3, kokia yra V laukiama reikšmė?
Diskusija:
Norint rasti laukiamą \(V \) reikšmę, turime naudoti laukiamos reikšmės tiesiškumo savybę. Duota \(V = 2W + 3 \), tada:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Remiantis laukiamos vertės tiesiškumo savybe, galime atskirti konstantą nuo atsitiktinio kintamojo:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Žinant, kad konstantos laukiama vertė yra pati konstanta:
\[ E(3) = 3 \]
O laukiama \(W \) reikšmė yra normalaus skirstinio \(W \) vidurkis:
\[ E(W) = \mu = 75 \]
Taigi,
\[E(V) = 2 × 75 + 3 \]
\[E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
5 klausimo pavyzdys:
Atsitiktinis kintamasis \(Q \) pasiskirsto pagal normalųjį skirstinį, kurio vidurkis \( \mu = 40 \) ir standartinis nuokrypis \( \sigma = 5 \). Kokia yra laukiama \(Q \) reikšmė, jei \[ U = Q/2 \]?
Diskusija:
Naudojame tą patį principą kaip ir 4 pavyzdyje, būtent laukiamos vertės tiesiškumo savybę. Atsižvelgiant į tai, kad \( U = Q/2 \), tada:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
Remiantis laukiamos vertės tiesiškumo savybe:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Žinome, kad laukiama \(Q \) reikšmė yra normalaus skirstinio \(Q \) vidurkis:
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
Taigi,
E(U) = ∫frac{1}{2} × 40]
\[ E(U) = 20 \]
Išvada
Normalaus skirstinio atveju atsitiktinio kintamojo tikėtina vertė visada lygi skirstinio vidurkiui (µ). Aukščiau pateikti uždavinių pavyzdžiai iliustruoja įvairias sąlygas, kaip apskaičiuoti laukiamą vertę naudojant tiesiškumo savybę. Šios pagrindinės sąvokos supratimas palengvina normalaus skirstinio uždavinių sprendimą statistikoje ir tikimybių teorijoje.
Normalus skirstinys yra labai svarbus statistikoje, nes jis naudojamas įvairiose praktinėse srityse, įskaitant hipotezių tikrinimą, parametrų vertinimą ir įvairias kitas statistines išvadas. Geras šio skirstinio laukiamos vertės supratimas yra svarbus pirmas duomenų analizės žingsnis.
Tikiuosi, kad šis straipsnis pateikia aiškų ir naudingą normalaus skirstinio laukiamos vertės paaiškinimą kartu su atitinkamais pavyzdiniais klausimais ir diskusijomis.
