Pavyzdiniai klausimai ir apskritimų bei akordų aptarimas
Apskritimas yra viena iš pagrindinių geometrinių figūrų, dažnai nagrinėjamų matematikoje. Viena svarbi su apskritimais susijusi sąvoka yra styga – linija, jungianti du apskritimo taškus, neperžengianti centro. Apskritimų ir stygų supratimas yra būtinas studijuojant geometriją. Šiame straipsnyje bus aptarti keli su apskritimais ir stygomis susiję pavyzdiniai uždaviniai ir diskusijos, siekiant pagilinti šių sąvokų supratimą.
Pagrindinis supratimas
Lingkaranas
Apskritimas yra visų plokštumos taškų, esančių vienodu atstumu nuo taško, vadinamo centru, rinkinys. Jei apskritimo centras yra taškas O, o apskritimo spindulys yra r, tai apskritimą galima išreikšti Dekarto lygtimi (x – O_x)² + (y – O_y)² = r².
Lanko virvė
Styga apskritime yra linija, jungianti du apskritimo taškus. Stygos ilgis priklauso ne tik nuo apskritimo spindulio, bet ir nuo centrinio kampo, nukreipto į jį, dydžio.
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1 klausimas:
Klausimas: Duotas 10 cm spindulio apskritimas ir 16 cm ilgio styga AB. Nustatykite trumpiausią atstumą nuo apskritimo centro iki stygos.
Diskusija:
Norėdami rasti atstumą nuo apskritimo centro iki chordos, galime naudoti stačiojo trikampio formulę, sudarytą tarp spindulio, atstumo nuo centro iki chordos ir pusės chordos ilgio.
Tarkime, kad taškas O yra apskritimo centras, o taškas P yra taškas stygos AB, kuri yra statmena stygai AB, viduryje. Taigi OP yra atstumas nuo apskritimo O centro iki stygos AB.
Trikampyje OAP (stačiajame trikampyje taške P) galime pritaikyti Pitagoro teoremą:
OP² + AP² = OA²
Mes žinome, kad:
– OA (apskritimo spindulys) = 10 cm
– AB (lanko templės ilgis) = 16 cm, taigi AP = 16/2 = 8 cm.
Į lygtį įrašykite žinomas vertes:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100–64
OP² = 36
OP = √36
OP = 6
Taigi, trumpiausias atstumas nuo apskritimo centro iki stygos yra 6 cm.
2 klausimas:
Klausimas: Apskritimo, kurio centras yra O, spindulys yra 8 cm. Styga AB sudaro centrinį kampą ∠AOB, lygų 120°. Nustatykite stygos AB ilgį.
Diskusija:
Norėdami apskaičiuoti chordos, sudarančios centrinį kampą (θ), ilgį, galime naudoti formulę:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Kur:
– r yra apskritimo spindulys (šiame klausime – 8 cm)
– θ yra kampas, kurį sudaro chorda apskritimo centre (šioje uždavinyje – 120°)
Pakeiskite žinomas vertes:
AB = 2 × 8 cm × sin (120°/2)
AB = 16 cm × sin(60°)
AB = 16 cm × (√3 / 2)
AB = 8√3 cm
Taigi, chordos AB ilgis yra 8√3 cm.
3 klausimas:
Klausimas: Apskritimas, kurio spindulys lygus 13 cm, o styga AB yra 5 cm atstumu nuo apskritimo centro. Nustatykite stygos AB ilgį.
Diskusija:
Šiuo atveju chordos ilgiui rasti galime naudoti susidariusį statųjį trikampį. Tarkime, taškas O yra apskritimo centras, taškas P yra arčiausiai centro esantis chordos taškas, o AB yra chorda.
Mes žinome:
– OA (apskritimo spindulys) = 13 cm
– OP (atstumas nuo lanko templės centro) = 5 cm.
OAP trikampyje:
OP² + AP² = OA²
Randame AP (pusę akordo ilgio):
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169–25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
Taigi, chordos ilgis AB = 2 × AP = 2 × 12 = 24 cm.
4 klausimas:
Klausimas: Duotas apskritimas, kurio spindulys lygus 10 cm. Stygos AB ilgis lygus 12 cm. Apskaičiuokite centrinio kampo ∠AOB dydį.
Diskusija:
Šiuo atveju, norint nustatyti centrinį kampą ∠AOB, reikia naudoti trigonometrinės funkcijos atvirkštinę funkciją. Remdamiesi chordos, apimančios centrinį kampą θ, ilgio formule, galime perrašyti formulę, kad apskaičiuotume θ:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Kur:
– r yra apskritimo spindulys (10 cm)
– AB yra lanko templės ilgis (12 cm)
Sudarykite lygtį sin(θ/2) išskyrimui:
12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
sin(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6
Raskite θ/2 reikšmę:
θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
Taigi,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
Taigi, centrinis kampas ∠AOB yra 73.74°.
Išvada
Norint studijuoti apskritimus ir stygas, reikia suprasti pagrindinę geometriją ir trigonometriją. Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose matėme, kaip spręsti uždavinius, naudojant įvairias formules ir teoremas, tokias kaip Pitagoro teorema, trigonometrines funkcijas ir pagrindines apskritimų savybes.
Tikimasi, kad šių praktinių uždavinių pagalba bus galima geriau suprasti spindulio, chordos ilgio ir gauto centrinio kampo ryšį. Šios sąvokos supratimas naudingas ne tik mokyklinėje matematikoje, bet ir kasdieniame pritaikyme įvairiose mokslo ir inžinerijos srityse.
