Pavyzdiniai klausimai ir apskritimų bei liestinių aptarimas
Apskritimai ir liestinės yra dvi dažnai aptariamos matematikos temos, ypač vidurinėje mokykloje. Norint pagilinti geometrijos žinias, labai svarbu suprasti liestinių sąvoką ir jų taikymą apskritimams. Šiame straipsnyje pateikiami uždavinių pavyzdžiai ir diskusijos apie apskritimus ir liestines, kad skaitytojai geriau suprastų šiuos dalykus.
Įvadas į apskritimų ir liestinių teoriją
Lingkaranas
Apskritimas yra taškų rinkinys plokštumoje, esantis vienodu atstumu nuo fiksuoto taško, vadinamo apskritimo centru. Šis fiksuotas atstumas žinomas kaip apskritimo spindulys. Matematiškai apskritimą galima apibrėžti pagal šią lygtį:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
kur \(a, b)\) yra apskritimo centro koordinatės, o \(r\) – spindulys.
Tangentas
Apskritimo liestinė yra linija, kuri liečia apskritimą tiksliai viename taške. Šis taškas vadinamas liestinės tašku. Pagrindinė liestinės savybė yra ta, kad ji yra statmena spinduliui, nubrėžtam nuo apskritimo centro iki liestinės taško.
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1 klausimas: Liestinės lygties nustatymas
Klausimas:
Duotas apskritimas, kurio centras yra \( (2, 3) \) ir spindulys 5. Nustatykite apskritimo liestinės lygtį taške \( P \), kurio koordinatės \( (5, 7) \).
Diskusija:
1 veiksmas: įsitikinkite, kad taškas \(P \) iš tikrųjų yra ant apskritimo.
Norint patikrinti, ar \(P(5, 7) \) yra apskritime, kurio centras \((2, 3) \) ir spindulys \(5 \), į apskritimo lygtį įstatykite \(P \) koordinates:
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[(5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[3^2 + 4^2 = 25 \]
\[9 + 16 = 25 \]
Kadangi lygybė teisinga, taškas \(P \) yra ant apskritimo.
2 veiksmas: nustatykite spindulio, einančio per \((2, 3) \) ir \((5, 7) \), gradientą:
\[m_{spindulys} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
3 veiksmas: Spindulio gradientui statmenos liestinės linijos gradientas (sandaugos gradientas lygus -1):
\[ m_{liestinė} = -\frac{1}{m_{spindulys}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
4 veiksmas: Nustatykite liestinės lygtį naudodami tašką \(P (5, 7) \):
[y – y_1 = m(x – x_1)]
\[y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Supaprastinti:
\[y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[4y – 28 = -3x + 15 \]
\[3x + 4y – 43 = 0 \]
Taigi, liestinės lygtis yra:
\[3x + 4y – 43 = 0 \]
2 klausimas: Liestinimo taško nustatymas pagal tiesės lygtį
Klausimas:
Duotas apskritimas, kurio lygtis yra \(x^2 + y^2 = 25 \) ir tiesė \(y = \frac{3}{4}x + 2 \). Nustatykite tiesės ir apskritimo lietimo tašką.
Diskusija:
1 veiksmas: Įsodinkite tiesės lygtį į apskritimo lygtį:
Apskritimo lygtis:
\[x^2 + y^2 = 25 \]
Į apskritimo lygtį įstatykite \(y = \frac{3}{4}x + 2 \):
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
_[x^2 + _ ...
_[x^2 + _frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25_]
2 veiksmas: supaprastinkite lygtį:
\[16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
3 veiksmas: šaknų radimas naudojant kvadratinę formulę:
\[ x = \frac{-b \pm qrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \qrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Galiojančio x pasirinkimas pagal lietimosi tašką (tik vienas x sukurs lietimosi tašką):
\[ x = \frac{141.501}{50} \apytiksliai 2.83 \]
\[ x \apytiksliai 2.83 \]
4 veiksmas: Į tiesės lygtį įstatykite \(x \) ir gaukite \(y \):
\[y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[y \apytiksliai 2.12 + 2 \]
\[y \apytiksliai 4.12 \]
Taigi, tiesės \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) ir apskritimo \(x^2 + y^2 = 25 \) lietimosi taškas yra \((2.83, 4.12) \).
Išvada
Norint įvaldyti apskritimų ir liestinių sąvokas, reikia suprasti geometrijos pagrindus ir gebėti spręsti uždavinius naudojant matematines lygtis. Tokios užduotys kaip aukščiau pateiktos padeda mokiniams praktikuotis taikyti teoriją konkretesnėse situacijose. Tikimasi, kad nuolat praktikuodamiesi mokiniai lengviau supras ir išspręs uždavinius.
