Kombinuotų diskusijų klausimų pavyzdys
Deriniai yra svarbi tikimybių teorijos ir statistikos sąvoka, leidžianti suskaičiuoti objektų pasirinkimo iš aibės būdus, neatsižvelgiant į tvarką. Deriniuose pasirinkimo tvarka išlieka nepakitusi, kitaip nei permutacijose, kur pasirinkimo tvarka yra esminė. Deriniai naudojami įvairiose srityse – nuo informatikos ir biologijos iki ekonomikos ir matematikos. Šiame straipsnyje bus paaiškinta pagrindinė derinių sąvoka ir pateikti keli pavyzdžiai bei diskusijos, padėsiantys jums suprasti.
Pagrindinė derinimo koncepcija
Prieš pereidami prie pavyzdžių problemų, pradėkime nuo pagrindinio kombinacijų supratimo.
Vienu metu paimtų \(n\) objektų \(r\) derinys žymimas žymėjimu \(\binom{n}{r}\) arba \(\mathbf{C}(n, r)\). Derinio apskaičiavimo formulė yra:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
– \(n \) yra bendras galimų objektų skaičius.
– \(r \) yra pasirenkamų objektų skaičius.
– ! (faktorialas) yra matematinis veiksmas, kuris daugina skaičių iš visų žemiau jo esančių teigiamų skaičių iki 1.
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1 klausimo pavyzdys: Komandos pasirinkimas iš studentų grupės
Klausimas:
Klasėje yra 10 mokinių. Kiek būdų galima atrinkti 4 mokinius iš klasės dalyvauti konkurse?
Diskusija:
Naudojant kombinuotą formulę:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
Faktorialo skaičiavimas:
– \(10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6! \)
– \(4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 \)
– \(6! \) jau yra viršuje, todėl jis gali panaikinti 6! skaičiuje \(10!\).
Taigi:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 × 9 \x 8 \x 7}{4 \x 3 \x 2 \x 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
Taigi, yra 210 būdų, kaip pasirinkti 4 studentus iš 10 studentų.
2 klausimo pavyzdys: Deriniai naudojant kortų rinkinius
Klausimas:
Kiek yra būdų, kaip išsirinkti 5 kortų pokerio kombinaciją iš 52 kortų kaladės?
Diskusija:
Naudojant kombinuotą formulę:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
Faktorialo skaičiavimas:
– \(52! = 52 × 51 × 50 × 49 × 48 × 47! \)
– (5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120)
– \(47! \) jau yra viršuje, todėl jis gali panaikinti 47! skaičiuje \(52!\).
Taigi:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52 × 51 \x 50 \x 49 \x 48}{5 \x 4 \x 3 \x 2 \x 1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
Taigi, yra 2 598 960 būdų, kaip pasirinkti 5 kortas iš 52 kortų.
3 pavyzdys: Sporto komandos atrankos kombinacijų skaičiavimas
Klausimas:
Krepšinio komandą sudaro 15 žaidėjų. Jei treneris nori pasirinkti 5 žaidėjus startiniu penketu, kiek būdų tai galima padaryti?
Diskusija:
Naudojant kombinuotą formulę:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
Faktorialo skaičiavimas:
– \(15! = 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10! \)
– (5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120)
– \(10! \) jau yra viršuje, todėl jis gali panaikinti 10! skaičiuje \(15!\).
Taigi:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15 × 14 \x 13 \x 12 \x 11}{5 \x 4 \x 3 \x 2 \x 1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
Taigi, yra 3,003 būdai, kaip pasirinkti 5 žaidėjus iš 15 žaidėjų.
4 pavyzdžio klausimas: Deriniai biologijoje
Klausimas:
Sode yra 8 skirtingų rūšių gėlės. Kiek būdų galima pasirinkti 3 rūšių gėles gėlių kompozicijai sudaryti?
Diskusija:
Naudojant kombinuotą formulę:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
Faktorialo skaičiavimas:
– \(8! = 8 × 7 \x 6 \x 5! \)
– \(3! = 3 × 2 × 1 = 6 \)
– \(5! \) jau yra viršuje, todėl jis gali panaikinti 5! skaičiuje \(8!\).
Taigi:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 × 7 \x 6}{3 × 2 \x 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
Taigi, yra 56 būdai, kaip pasirinkti 3 rūšių gėles iš 8 rūšių gėlių.
5 klausimo pavyzdys: Kombinacijos komandos formavime
Klausimas:
Knygų lentynoje turite 12 skirtingų knygų. Kiek būdų galite pasirinkti 5 iš 12 knygų?
Diskusija:
Naudojant kombinuotą formulę:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
Faktorialo skaičiavimas:
– \(12! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7! \)
– (5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120)
– \(7! \) jau yra viršuje, todėl jis gali panaikinti 7! skaičiuje \(12!\).
Taigi:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 × 11 \x 10 \x 9 \x 8}{5 \x 4 \x 3 \x 2 \x 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
Taigi, yra 792 būdai, kaip pasirinkti 5 knygas iš 12 knygų.
Išvada
Deriniai yra labai naudinga sąvoka įvairiose srityse, ypač kai reikia žinoti, kiek būdų pasirinkti objektus neatsižvelgiant į jų eilę. Naudodami pagrindinę derinių formulę \(\binom{n}{r}\), galime juos greitai ir lengvai apskaičiuoti, jei tik suprantame, kaip veikia faktorialai. Remdamiesi aukščiau pateiktais pavyzdžiais, tikimės geriau ir aiškiau suprasti derinius. Toliau praktikuokitės su įvairiais uždaviniais, kad dar labiau sustiprintumėte savo supratimą.
