Diskusinio klausimo apie determinacijos koeficientą pavyzdys
Determinacijos koeficientas (R²) yra svarbus regresinės analizės parametras, rodantis, kaip gerai regresinis modelis paaiškina faktinį duomenų kintamumą. Šiame straipsnyje paaiškinsime determinacijos koeficiento sąvoką pateikdami išsamų pavyzdį ir aptardami.
Pagrindinė nustatymo koeficiento sąvoka
Determinacijos koeficientas arba \(R^2 \) matuojamas skalėje nuo 0 iki 1, kur:
– \( R^2 = 0 \) rodo, kad regresinis modelis visiškai negali paaiškinti duomenų kintamumo.
– \( R^2 = 1 \) rodo, kad regresinis modelis gali puikiai paaiškinti visą duomenų kintamumą.
Pagrindinė nustatymo koeficiento apskaičiavimo formulė yra:
\[R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Kur:
– SSR (kvadratinių liekanų suma) yra modelio numatytų ir faktinių verčių skirtumų kvadratų suma.
– SST (bendra kvadratų suma) yra faktinės vertės ir faktinių verčių vidurkio skirtumų kvadratų sumų suma.
Problemų pavyzdys
Aptarkime pavyzdinę problemą, kad geriau suprastume determinacijos koeficiento skaičiavimą.
Problemų pavyzdys:
Tarkime, kad turime duomenis apie 10 studentų studijų valandų skaičių (X) ir egzaminų balus (Y):
| Studentai | Mokymosi valandos (X) | Egzamino balas (Y) |
|——-|———————–|———————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Sukursime paprastą tiesinės regresijos modelį, kuriame egzaminų balai (Y) prognozuojami pagal mokymosi valandas (X).
Pembahasanas
1. Paprasto tiesinės regresijos modelio sudarymas
Paprastas tiesinės regresijos modelis turi tokią formą:
[Y = a + bX]
Kur:
– \(Y \) yra numatomas testo rezultatas.
– \(X \) yra mokymosi valandų skaičius.
– \(a \) yra susikirtimo taškas (susikirtimo taškas Y ašyje, kai X = 0).
– \(b \) yra regresijos tiesės nuolydis (polinkis).
Norėdami apskaičiuoti parametrus \(a \) ir \(b \), naudojame šią formulę:
[b = ∫n(XY) – (X)(Y)}{n(X^2) – (X)^2}]
[a = ∫frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n}]
Kur \(n \) yra duomenų skaičius (šiuo atveju n = 10).
Iš lentelės galime apskaičiuoti:
– (X suma = 36)
– (suma{Y} = 704)
– (X^2 = 140)
– (suma{Y^2} = 50428)
– (XY suma = 2576)
Pirmiausia apskaičiuokime b:
\[b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[b = \frac{25760–25344}{1400–1296} \]
\[b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
Tada apskaičiuojame a:
\[a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[a = \frac{704 – 144}{10} \]
a = 560% (10)
\[ a = 56 \]
Taigi, gauname tiesinės regresijos modelį:
\[Y = 56 + 4X \]
2. Apskaičiuokite numatomą vertę (Y')
Toliau apskaičiuojame kiekvienos X reikšmės prognozuojamą reikšmę \(Y' \):
| Studentai | Mokymosi valandos (X) | Egzamino balas (Y) | Prognozuojamas balas (Y') |
|——-|———————–|———————–|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | (56 + 4(2) = 64) |
| 2 | 3 | 64 | (56 + 4(3) = 68) |
| 3 | 4 | 70 | (56 + 4(4) = 72) |
| 4 | 5 | 85 | (56 + 4(5) = 76) |
| 5 | 2 | 57 | (56 + 4(2) = 64) |
| 6 | 3 | 68 | (56 + 4(3) = 68) |
| 7 | 4 | 72 | (56 + 4(4) = 72) |
| 8 | 5 | 90 | (56 + 4(5) = 76) |
| 9 | 3 | 62 | (56 + 4(3) = 68) |
| 10 | 4 | 78 | (56 + 4(4) = 72) |
3. SSR ir SST apskaičiavimas
Toliau apskaičiuojame SSR ir SST, kad gautume \(R^2 \).
SSR:
\[SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Kur:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Determinacijos koeficiento (R^2) apskaičiavimas:
\[R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[R^2 = 1 – 0.41 \]
\[R^2 = 0.59 \]
Išvada
Remiantis aukščiau pateiktu skaičiavimu, gavome determinacijos koeficientą (R2 = 0.59). Tai rodo, kad mūsų sukurtas tiesinės regresijos modelis gali paaiškinti maždaug 59 % egzaminų balų kintamumo, pagrįsto mokymosi valandomis. Likę 41 % kintamumo gali būti susiję su kitais veiksniais, neįtrauktais į modelį.
Suprasdami aukščiau pateiktus veiksmus ir skaičiavimus, galime suprasti determinacijos koeficiento svarbą vertinant, kaip gerai mūsų sukurtas regresinis modelis paaiškina tikrąjį duomenų kintamumą. Tai labai naudinga priemonė statistinėje analizėje ir duomenų modeliavime.
