Pavyzdiniai klausimai, kuriuose aptariamas trigonometrinių santykių tan θ naudojimas
Trigonometrija yra matematikos šaka, nagrinėjanti kampus ir kampų funkcijas trikampiuose. Viena svarbi trigonometrijos sąvoka yra trigonometriniai kampų santykiai, tokie kaip sinusas (sin), kosinusas (cos) ir tangentas (tan). Šiame straipsnyje daugiausia dėmesio skirsime vieno kampo θ tangentui, kuris žymimas tangenu θ.
Tan θ apibrėžimas
Stačiajame trikampyje kampo θ liestinė yra priešingos kampo θ kraštinės ilgio ir gretimos kampo θ kraštinės ilgio santykis. Matematiškai tan θ išreiškiamas taip:
\[ \tan \theta = \frac{\text{priešinga kampo θ pusė}}{\text{gretima kampo θ pusė}} \]
Norėdami geriau suprasti šią sąvoką, pateiksime keletą pavyzdžių ir aptarsime tan θ panaudojimą.
1 klausimo pavyzdys: Tan θ apskaičiavimas
Duotas statusis trikampis, kurio kampas θ taške A, kur priešingos kampo θ kraštinės ilgis lygus 3 cm, o gretimos kampo θ kraštinės ilgis lygus 4 cm. Apskaičiuokite tan θ.
Sprendimas:
Iš aukščiau išvardytų problemų žinome:
– Priešingoji kampo θ pusė (priešinga) = 3 cm
– Gretima kampo θ kraštinė = 4 cm
Naudodami tan θ apibrėžimą, apskaičiuojame:
\[ \tan \theta = \frac{\text{priešinga}}{\text{gretima}} \]
[tan theta = ∫frac{3}{4}]
Taigi, tan θ = 0.75.
Geometriškai tai reiškia, kad trikampio kampui θ priešingos kraštinės ilgio ir gretimos kraštinės ilgio santykis yra 0.75.
2 pavyzdys: Šoninio ilgio apskaičiavimas naudojant Tan θ
Kopėčios atremtos į sieną, kurios pakilimo kampas θ yra 30 laipsnių. Atstumas nuo kopėčių apačios iki sienos yra 5 metrai. Kokio ilgio kopėčios atremtos į sieną?
Sprendimas:
Pirmame žingsnyje prisimename tan θ apibrėžimą:
\[ \tan \theta = \frac{\text{priešinga}}{\text{gretima}} \]
Šios problemos kontekste:
– θ = 30 laipsnių
– greta (atstumas nuo kopėčių apačios iki sienos) = 5 metrai
– priešinga pusė (kopėčių aukštis iki sienos) = ???
Pirmiausia apskaičiuojame \text{opposite)):
\[ \tan 30^\circ = \frac{\text{opozicinė}}{5} \]
Iš trigonometrinės lentelės žinome, kad:
[tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}]
Taigi:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{opposite}}{5} \]
Padauginkite abi puses iš 5:
\[ \text{opposite} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]
Priešingoje pusėje (kopėčių aukštis iki sienos) yra:
\[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \apytiksliai 2.89 \text{ metrų} \]
Taigi, kopėčių ilgis yra 5 metrai.
3 pavyzdys: Kampų skaičiavimas naudojant Tan θ
Bokštas meta 12 metrų ilgio šešėlį. Jei bokšto aukštis yra 8 metrai, koks yra saulės aukščio kampas θ?
Sprendimas:
Šioje problemoje mums duota:
– Bokšto aukštis (priešingoje pusėje) = 8 metrai
– Šešėlio ilgis (gretimame) = 12 metrų
Naudojame tan θ apibrėžimą, kad rastume θ:
[tan theta = 8(12) = 2(3)]
Dabar randame θ su lygtimi:
[theta = tan^{-1} (2}{3})]
Žvelgdami į lentelę arba skaičiuotuvą, kad nustatytume atvirkštinio liestinės vertę, randame:
[teta maždaug 33.69^\circ]
Taigi, Saulės aukščio kampas yra apie 33.69 laipsnio.
4 pavyzdys: Tan θ taikymas realaus pasaulio poreikiams
Ant 4 metrų aukščio stulpo virš automobilio sumontuotas šviesos atšvaitas. Jei norite sumontuoti sireną, kurią būtų galima matyti 45 laipsnių kampu nuo žemės, apskaičiuokite didžiausią atstumą, kuriuo sirena vis dar matoma.
Sprendimas:
Iš klausimo žinoma:
– Stulpo aukštis (priešingoje pusėje) = 4 metrai
– Kampas θ = 45 laipsniai
Pagal tan θ apibrėžimą:
\[ \tan 45^\circ = \frac{\text{priešinga}}{\text{gretima}} \]
Žinome, kad \(\tan 45^\circ = 1\), taigi:
\[1 = \frac{4}{\text{gretima}} \]
Taigi:
\[ \text{gretimi} = 4 \text{ metrai} \]
Taigi, tolimiausias atstumas, iš kurio galima pamatyti sireną, yra 4 metrai.
Išvada
Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių matome, kad kampo θ liestinė (\(\tan \theta\)) yra labai naudinga sąvoka ir turi platų praktinį pritaikymą – nuo paprastų matematikos uždavinių sprendimo iki taikymo kasdieniuose poreikiuose, pavyzdžiui, konstruojant ir navigacijoje. Geras šios sąvokos supratimas gali padėti išspręsti įvairias problemas, susijusias su trikampio kraštinių ilgių palyginimu.
Apskritai tan θ, kaip trigonometrijos dalis, yra ne tik svarbus dalykas formaliajame švietime, bet ir labai naudinga priemonė įvairiuose realaus gyvenimo aspektuose. Tikimės, kad šis straipsnis pateikia aiškią ir išsamią apžvalgą, kaip naudoti tan θ susijusiems uždaviniams spręsti.
