Pavyzdiniai klausimai ir apskritimo sektorių aptarimas
Apskritimo sektoriai yra svarbi matematikos tema, dažnai minima egzaminuose ir praktikos klausimuose. Sektorius yra apskritimo dalis, apribota dviem spinduliais ir juos jungiančiu lanku. Šiame straipsnyje aptarsime keletą pavyzdžių uždavinių apie apskritimo sektorius kartu su išsamiais paaiškinimais, kad pagilintume savo supratimą.
Apskritimo sektoriaus apibrėžimas
Apskritimo sektorius yra apskritimo sektorius, apribotas dviem spinduliais ir vienu lanku. Sektoriaus plotas apskaičiuojamas pagal viso apskritimo ploto dalį. Pagrindinė sektoriaus skaičiavimo formulė yra tokia:
– Juringo plotas: \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} × \pi × r^2\]
– Lanko ilgis: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \x 2\pi r\]
Kur:
– \( \theta \) yra sektoriaus kampo dydis laipsniais,
– \(r \) yra apskritimo spindulys,
– \( \pi \) yra konstanta (apytiksliai 3.14159).
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1 klausimas:
Duotas apskritimas, kurio spindulys yra 10 cm, ir sektorius, kurio centrinis kampas yra 90°. Apskaičiuokite sektoriaus plotą.
Diskusija:
Yra žinoma:
– (r = 10) cm
– (heta = 90^circ)
Sektoriaus plotui naudojame formulę:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} × \pi × r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \x \pi \x (10\cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \x \pi \x 100\text{cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Jei \( \pi \) imama kaip 3.14, tai:
\[L_juring = 25 × 3.14 cm² = 78.5 cm²]
Taigi, sektoriaus plotas yra 38 465 cm².
2 klausimas:
Apskritimo sektoriaus spindulys yra 7 cm, o lanko ilgis – 11 cm. Apskritimo sektoriaus centrinį kampą radianais.
Diskusija:
Yra žinoma:
– (r = 7) cm
– Lanko ilgis \(P_b = 11 \text{ cm} \)
Kampui \( \theta \) rasti naudojame lanko ilgio formulę:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \x 2\pi r\]
Kadangi mūsų prašoma rasti kampą radianais, 360° pakeičiame į \(2\pi\) radianus:
\[P_b = \theta \x r\]
\[11 = \teeta \x 7\]
[theta = \frac{11}{7}]
\[\theta \apytiksliai 1.57 \text{ rad}\]
Taigi, sektoriaus centrinis kampas yra 1.57 radiano.
3 klausimas:
Apskritimo, kurio spindulys yra 16 cm, sektorius yra 200 cm² plotas. Apskaičiuokite sektoriaus centrinį kampą.
Diskusija:
Yra žinoma:
– (r = 16) cm
– \(L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Sektoriaus ploto formulei rasti naudojame θ (θ):
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} × \pi × r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \x \pi \x (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \x \pi \x 256\]
\[200 = \frac{\theta \x 256 \x \pi}{360^\circ}\]
\[200 × 360^\circ = \theta × 256 × 3.14\]
\[72000 = \theta \x 256 \x 3.14\]
\[72000 = \teeta \x 804.64\]
[theta = \frac{72000}{804.64}]
[\theta \apytiksliai 89.45^\circ\]
Taigi, sektoriaus centrinis kampas yra maždaug 89.45°.
4 klausimas:
Apskaičiuokite bendrą sektoriaus, kurio spindulys yra 12 cm, o centrinis kampas – 120°, perimetrą.
Diskusija:
Yra žinoma:
– (r = 12) cm
– (heta = 120^circ)
Pirmiausia randame lanko ilgį:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \x 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \x 2\pi \x 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \x 2\pi \x 12\]
\[P_b = 8\pi\text{cm}\]
Tada apskaičiuojame sektoriaus perimetrą (lanko ilgis + du spinduliai):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 × 12 cm + 8 pi cm]
\[K = 24\cm} + 8\pi\cm}\]
Jei \( \pi \) imama kaip 3.14, tai:
\[K = 24 cm + 8 × 3.14 cm]
\[K = 24 cm + 25.12 cm]
\[K = 49.12\text{ cm}\]
Taigi, bendras sektoriaus apimtis yra 49.12 cm.
5 klausimas:
Jei apskritimo, kurio spindulys yra 18 cm, sektorius sudaro 45° kampą, nustatykite lanko ilgį ir sektoriaus plotą.
Diskusija:
Yra žinoma:
– (r = 18) cm
– (heta = 45^circ)
1. Lanko ilgis:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \x 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \x 2\pi \x 18\text{cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \x 36\pi\text{cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{cm}\]
Jei \( \pi \) imama kaip 3.14, tai:
\[P_b = 4.5 × 3.14 cm} \apytiksliai 14.13 cm}\]
Taigi, lanko ilgis yra apie 14.13 cm.
2. Sektoriaus sritis:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} × \pi × r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \x \pi \x (18\cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \x \pi \x 324\text{cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Jei \( \pi \) imama kaip 3.14, tai:
\[L_juring = 40.5 × 3.14 \cm}^2 \apytiksliai 127.17 \cm}^2\]
Taigi, sektoriaus plotas yra maždaug 127.17 cm².
Išvada
Šiame straipsnyje aptarėme keletą pavyzdžių uždavinių, susijusių su apskritimo sektoriais ir jų sprendimais. Apskritimo sektorių supratimo esmė slypi pagrindinių formulių, skirtų sektoriaus plotui ir lanko ilgiui apskaičiuoti, įvaldyme. Tikimės, kad reguliari praktika ir supratimas, kaip taikyti šias formules įvairių tipų uždaviniams, padės pagerinti jūsų gebėjimą spręsti panašius uždavinius.
