Kūginių pjūvių liestinių pavyzdžių klausimai ir aptarimas
Pendahuluanas
Kūginis pjūvis yra kreivė, gaunama susikirtus plokštumai su dipoliu kūgiu. Šios kreivės apima apskritimus, elipses, paraboles ir hiperboles. Viena svarbi tema norint suprasti kūginius pjūvius yra liestinė. Kūginio pjūvio liestinė yra linija, kuri liečia kūginę kreivę tik viename taške. Šiame straipsnyje bus aptarti keli pavyzdiniai uždaviniai ir kūginių pjūvių liestinių aptarimas.
Apskritimo liestinė
Apskritimas yra kūgio pjūvis, turintis paprasčiausią formą ir tobulą simetriją. Pradėkime nuo pavyzdžio uždavinio apie apskritimo liestines.
1 pavyzdžio klausimas
Duotas apskritimas, kurio lygtis \( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \). Apskaičiuokite liestinės taške \(5, -3)\) ant apskritimo lygtį.
Pembahasanas
Bendroji apskritimo lygtis yra \(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \), kur \(h, k) \) yra apskritimo centras, o \(r \) – spindulys. Šioje uždavinyje apskritimo \(h, k)\) centras yra \(2, -3\), o spindulys \(r = \sqrt{25} = 5 \).
Apskritimo taško \(x_1, y_1)\) liestinę galima rasti pagal šią formulę:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
Įveskite žinomas vertes:
\[ (x – 2) (5 – 2) + (y + 3) (-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2) (3) + (y + 3) (0) = 25 \]
3(x – 2) = 25
\[3x – 6 = 25 \]
\[3x = 31 \]
_[x = _frac{31}{3}_]
Liestinės lygtis yra \(x = \frac{31}{3}\), tačiau šiame metode yra klaida, nes taškas \(5, -3)\) aiškiai yra apskritimo taškas. Todėl naudojame tradicinį metodą, įterpdami liestinės nuolydį į šį konkretų tašką:
Liestinės taškas yra \(5, -3)\), tada spindulio linijos gradientas (m) yra \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\), kur liestinės linijos gradientas tampa neapibrėžtas ankstesnei vertikaliai liestinai.
Elipsės liestinė
Elipsė yra kūginė pjūvio dalis, turinti dvi simetrijos ašis: didžiąją (ilgąją) ir šalutinę (trumpąją). Pateikiame keletą problemų su elipsėmis pavyzdžių.
2 pavyzdžio klausimas
Duota elipsė, kurios lygtis \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\). Apskaičiuokite liestinės taške \(2, \frac{3}{2})\) lygtį elipsėje.
Pembahasanas
Elipsės liestinės \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) taške \(x_1, y_1)\) lygtis yra:
[ xx_1}{a^2} + yy_1}{b^2} = 1]
Kai \(a = 4\) ir \(b = 3\), pakeiskite \(a\), \(b\) reikšmes ir tašką \(2, \frac{3}{2})\):
[ x (2) ^ 4 ^ 2 + y ( 3 ^ 2) ^ 3 ^ 2 = 1 ]
[\frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1]
[ x 8 + y 2 = 1 ]
Padauginkite visą lygtį iš 8, kad pašalintumėte trupmenas:
\[ x + 4y = 8 \]
Taigi, elipsės liestinės lygtis yra \(x + 4y = 8 \).
Tangentinė linija iki parabolės
Parabolė yra kūginė pjūvio plokštuma su viena simetrijos ašimi ir viena viršūne. Pateikiame keletą parabolių problemų pavyzdžių.
3 pavyzdžio klausimas
Duota parabolė, kurios lygtis yra \(y^2 = 4x \). Apskaičiuokite liestinės lygtį taške \(1, 2)\).
Pembahasanas
Parabolės liestinės \(y^2 = 4ax \) taške \(x_1, y_1)\) lygtis yra:
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
Iš parabolės lygties \(y^2 = 4x \) gauname \(4a = 4 \), taigi \(a = 1 \). Įstatykite \(a \) reikšmę ir tašką \(1, 2)\):
_[2y = 2(1)(x + 1)_]
\[2y = 2x + 2 \]
\[y = x + 1 \]
Taigi, parabolės liestinės lygtis yra \(y = x + 1 \).
Hiperbolės liestinė
Hiperbolė yra kūginė pjūvio dalis su dviem šakomis ir dviem asimptotėmis. Pateikiame keletą hiperbolių problemų pavyzdžių.
4 pavyzdžio klausimas
Duota hiperbolė su lygtimi \( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \). Nustatykite liestinės lygtį taške \(5, 0)\).
Pembahasanas
Hiperbolės liestinės \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) taške \(x_1, y_1)\) lygtis yra:
[ xx_1}{a^2} – yy_1}{b^2} = 1]
Kai a = 5 ir b = 4, pakeiskite reikšmes a, b ir tašką (5, 0):
[ x (5) ⋅ 25 – y (0) ⋅ 1]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[ x = 5 \]
Taigi, hiperbolės liestinės lygtis yra \(x = 5 \).
Išvada
Kūginių pjūvių liestinės vaidina labai svarbų vaidmenį matematikoje ir įvairiuose praktiniuose pritaikymuose. Supratimas, kaip rasti įvairių tipų kūginių pjūvių, tokių kaip apskritimai, elipsės, parabolės ir hiperbolės, liestinių lygtis, yra esminis skaičiavimo ir analizinės geometrijos įgūdis. Tikimasi, kad pateikti pavyzdžiai ir diskusijos padės skaitytojams geriau suprasti kūginių pjūvių liestinių nustatymo sąvokas ir metodus.
