Pavyzdiniai klausimai apie funkcijas ir nefunkcijas: pagrindinių sąvokų supratimas
Įvadas
Matematikoje, ypač algebroje, funkcijos sąvoka yra viena iš fundamentaliausių ir svarbiausių. Funkcijos leidžia mums labai sistemingai suprasti dviejų aibių ryšį. Norėdami suprasti funkciją, pirmiausia turime suprasti jos apibrėžimą ir charakteristikas. Todėl šiame straipsnyje bus apžvelgti pavyzdiniai uždaviniai ir aptartos funkcijos bei nefunkcijos. Tai padės mums giliau suprasti šią temą.
Funkcijos ir nefunkcijos apibrėžimas
Pradėkime nuo funkcijos apibrėžimo supratimo. Matematikoje funkcija gali būti apibrėžta kaip ryšys, kuris susieja kiekvieną srities aibės elementą su tiksliai vienu kodidžių aibės elementu. Kitaip tariant, kiekvienam srities aibės elementui kodidžių aibėje yra vienas ir tik vienas atitinkamas elementas.
Ryšių, kurie yra funkcijos, pavyzdžiai:
– Nustatyti A = {1, 2, 3}
– Nustatyti B = {4, 5, 6}
– Ryšys R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
Ryšys R yra funkcija, nes kiekvienas aibės A elementas yra suporuotas tik su vienu aibės B elementu.
Nefunkcija yra sąryšis, kuris neatitinka šių kriterijų, t. y. kad pradinėje srityje yra bent vienas elementas, kuris yra suporuotas su daugiau nei vienu elementu rezultato srityje.
Ryšių, kurie nėra funkcijos, pavyzdžiai:
– Nustatyti C = {1, 2, 3}
– Nustatyti D = {4, 5, 6}
– Ryšys S = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}
Ryšys S nėra funkcija, nes elementas „1“ aibėje C yra suporuotas su dviem elementais aibėje D (būtent 4 ir 5).
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
Norėdami dar labiau pagilinti savo supratimą apie funkcijas ir nefunkcijas, panagrinėkime keletą klausimų pavyzdžių ir jų aptarimus.
1 pavyzdžio klausimas: Funkcijų nustatymas
Ar duotos aibės X = {a, b, c, d} ir aibės Y = {1, 2, 3, 4}, ar sąryšis apibrėžiamas kaip funkcija?
– R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
Diskusija:
Patikrinkime kiekvieną aibės X elementą:
– „a“ suporuotas su „1“
– „b“ suporuotas su „2“
– „c“ suporuotas su „3“
– „d“ suporuotas su „4“
Kadangi kiekvienas X aibės elementas yra suporuotas su lygiai vienu Y aibės elementu, sąryšis R yra funkcija.
2 klausimo pavyzdys: Funkcijų arba nefunkcijų nustatymas
Duota aibė P = {u, v, w} ir aibė Q = {5, 6, 7}. Nustatykite, ar šis sąryšis yra funkcija:
– S = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}
Diskusija:
Panagrinėkime kiekvieną aibės P elementą:
– „u“ suporuotas su „5“
– „v“ suporuotas su „6“
– „u“ taip pat poruojamas su „7“
Kadangi elementas „u“ aibėje P yra suporuotas su daugiau nei vienu elementu aibėje Q, sąryšis S nėra funkcija.
3 pavyzdžio klausimas: Funkcijų braižymas iš grafikų
Pateiktas sąryšio grafikas koordinių plokštumoje. Nustatykite, ar tai yra funkcija, ar ne. Grafike pavaizduoti šie taškai:
– (1, 2)
– (2, 4)
– (3, 6)
– (4, 8)
– (5, 10)
Diskusija:
Kiekvienas grafiko taškas turi porą (x, y), kuri rodo, kad kiekvienai duotai x vertei yra priskirta lygiai viena y vertė. Kadangi kiekvienas srities elementas yra suporuotas su lygiai vienu elementu kodinime, duotasis grafikas yra funkcijos grafikas.
4 pavyzdžio uždavinys: funkcijos lygčių pavidalu
Nustatykite, ar lygtis y = x² yra funkcija, jei duotoje srityje yra visi realieji skaičiai.
Diskusija:
Turime patikrinti, ar kiekviena x reikšmė srityje turi tik vieną ir su ja susietą y reikšmę. Pakeiskite kelias x reikšmes:
– Jei x = 1, tai y = 1² = 1
– Jei x = 2, tai y = 2² = 4
– Jei x = -1, tai y = (-1)² = 1
Matyti, kad kiekvienai pasirinktai x reikšmei yra tik viena susijusi y reikšmė. Todėl y = x² yra funkcija.
5 pavyzdžio klausimas: Funkcijos su atvirkštinėmis funkcijomis
Tegu f(x) yra funkcija, apibrėžta f: x → x + 3. Raskite šios funkcijos atvirkštinę reikšmę, jei ji egzistuoja.
Diskusija:
Jei f: x → x + 3, tai reikia rasti tokią funkciją g, kad f(g(x)) = x ir g(f(x)) = x. Pradedant nuo lygties:
– y = x + 3
Norėdami rasti atvirkštinę reikšmę, išskiriame x:
– x = y – 3
Todėl atvirkštinė funkcija yra g(y) = y – 3.
Taigi, funkcijos f(x) = x + 3 atvirkštinė funkcija yra f⁻¹(x) = x – 3.
Išvada
Iš aukščiau pateiktos diskusijos matėme keletą uždavinių, susijusių su funkcijomis ir nefunkcijomis, pavyzdžių bei jų paaiškinimus. Funkcijos sąvoka moko, kad kiekvienas srities aibės elementas turi būti suporuotas su tiksliai vienu kodidomės aibės elementu. Funkcijų atpažinimas iš grafikų ir lygčių taip pat yra naudinga technika ryšio pobūdžiui nustatyti. Praktikuodami tokio tipo uždavinius, geriau susipažinsime su pagrindinėmis funkcijų ir nefunkcijų sąvokomis, kurios yra esminiai algebros ir kitos matematinės analizės pagrindai.
