Diskusinio klausimo apie normalųjį skirstinį pavyzdys
Normalusis skirstinys, dar žinomas kaip Gauso skirstinys, yra dažniausiai statistikoje naudojamas tikimybių skirstinys. Šis skirstinys turi simetrišką varpo formą, rodančią, kad duomenys yra išdėstyti aplink vidurkį, o kraštutinumų (reikšmių, nutolusių nuo vidurkio) tikimybė yra maža.
Šiame straipsnyje aptarsime įvairius pavyzdinius uždavinius, susijusius su normaliuoju skirstiniu, ir kaip juos išspręsti. Pradėsime nuo pagrindinių sąvokų pristatymo, o tada pereisime prie sudėtingesnių pavyzdžių.
Normalaus skirstinio pagrindai
Normalus skirstinys yra tolydus skirstinys su dviem parametrais: vidurkiu ir standartiniu nuokrypiu (SN). Vidurkis nustato skirstinio centrą, o standartinis nuokrypis – skirstinio plotį.
Svarbios normalaus skirstinio charakteristikos:
1. Simetrija: Normalus skirstinys yra simetriškas vidurkio atžvilgiu.
2. Empirinė taisyklė (empirinė taisyklė):
– Apie 68 % duomenų yra vieno standartinio nuokrypio ribose nuo vidurkio.
– Maždaug 95 % duomenų yra dviejų standartinių nuokrypių ribose nuo vidurkio.
– Maždaug 99.7 % duomenų yra trijų standartinių nuokrypių ribose nuo vidurkio.
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1 pavyzdžio klausimas: Z balo apskaičiavimas
Klausimas: Egzamino vidutinis balas yra 70, o standartinis nuokrypis – 10. Studentas gauna 80 balų. Koks yra studento Z balas?
Sprendimas:
Z balas yra matas, rodantis, kiek standartinių nuokrypių reikšmė skiriasi nuo vidurkio.
Z balo formulė:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Kur:
– \(X \) yra stebima reikšmė.
– \( \mu \) yra vidurkis.
– \( \sigma \) yra standartinis nuokrypis.
Yra žinoma:
– (X = 80)
– (mu = 70)
– (sigma = 10)
Formulės taikymas:
\[ Z = \frac{80–70}{10} = 1 \]
Taigi, studento Z balas yra 1, o tai reiškia, kad 80 balų yra vienas standartinis nuokrypis virš vidurkio.
2 pavyzdžio klausimas: Tam tikros vertės tikimybė
Klausimas: Kokia tikimybė rasti reikšmę, mažesnę nei 85, esant normaliam skirstiniui, kurio vidurkis yra 100, o standartinis nuokrypis – 15?
Sprendimas:
Žingsniai:
1. Apskaičiuokite Z rodiklį reikšmei \(X = 85 \):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Norėdami rasti tikimybę, atitinkančią Z rodiklį, lygų -1, naudokite Z lentelę arba statistinę skaičiuoklę. Z lentelėje Z rodiklio, lygaus -1, tikimybė yra maždaug 0.1587.
Taigi, tikimybė rasti reikšmę, mažesnę nei 85, yra 0.1587 arba 15.87%.
3 pavyzdžio klausimas: Empirinių taisyklių naudojimas
Klausimas: Yra žinoma, kad matematikos egzaminų balų pasiskirstymas mokyklose atitinka normalųjį skirstinį, kurio vidurkis yra 75, o standartinis nuokrypis – 8. Kokia mokinių dalis surinko nuo 67 iki 83 balų?
Sprendimas:
Langkah-langkah:
1. Apskaičiuokite Z balą reikšmėms 67 ir 83:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Pagal empirines taisykles, vertės tarp -1 SD ir +1 SD nuo vidurkio apima apie 68% populiacijos.
Taigi, studentų, surinkusių nuo 67 iki 83 balų, dalis sudarė apie 68 %.
4 pavyzdžio klausimas: Reikšmių skaičiavimas iš procentilių
Klausimas: Jei vidutinis suaugusių vyrų ūgis šalyje yra 175 cm, o standartinis nuokrypis yra 7 cm, koks ūgis yra 90-ajame procentilyje?
Sprendimas:
Langkah-langkah:
1. Raskite Z rodiklį, atitinkantį 90-ąjį procentilį. Remiantis Z lentele, artimiausias 0.9000 Z rodiklis yra maždaug 1.28.
2. Norėdami apskaičiuoti \(X \) reikšmę, naudokite formulę:
\[X = \mu + Z × sigma \]
\[X = 175 + 1.28 × 7]
\[X = 175 + 8.96 \]
\[X = 183.96 \]
Taigi, 90-ojo procentilio ūgis yra apie 183.96 cm.
5 pavyzdžio klausimas: Tam tikro intervalo tikimybė
Klausimas: Atsižvelgiant į tai, kad naujagimių svorio pasiskirstymas atitinka normalųjį skirstinį, kurio vidurkis yra 3.5 kg, o standartinis nuokrypis – 0.5 kg, kokia tikimybė, kad kūdikis svers nuo 3 kg iki 4 kg?
Sprendimas:
Langkah-langkah:
1. Apskaičiuokite Z rodiklį 3 kg ir 4 kg vertėms:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Tikimybė, kad Z balas bus tarp -1 ir 1, remiantis Z lentele, yra maždaug 0.6826 arba 68.26 %.
Taigi, tikimybė, kad kūdikis svers nuo 3 kg iki 4 kg, yra apie 68.26 %.
Išvada
Normalusis skirstinys yra esminė statistikos sąvoka, turinti daug praktinių pritaikymų. Šiame straipsnyje paaiškinome pagrindines normalaus skirstinio sąvokas ir pateikėme keletą pavyzdžių, kad pagilintume savo supratimą.
Normalaus skirstinio supratimas svarbus ne tik statistikai, bet ir įvairioms praktinėms sritims, tokioms kaip psichologija, ekonomika ir kiti socialiniai mokslai. Turint pakankamai praktikos, normalaus skirstinio uždavinių sprendimas gali tapti intuityvesnis ir padėti priimti duomenimis pagrįstus sprendimus.
