Binominio skirstinio pavyzdžių klausimai ir aptarimas
Binominis skirstinys yra vienas iš dažniausiai naudojamų diskrečiųjų tikimybių skirstinių. Jis naudingas modeliuojant sėkmių skaičių per daug identiškų, nepriklausomų bandymų, kurių kiekvienas baigiasi sėkme arba nesėkme. Šiame straipsnyje mes išsamiau panagrinėsime binominį skirstinį, pateikdami keletą pavyzdžių ir išsamią diskusiją.
Įvadas į binominį skirstinį
Pagrindinės binominio skirstinio charakteristikos:
1. n : bandymų arba pakartojimų skaičius.
2. p : Kiekvieno bandymo sėkmės tikimybė.
3. q = 1-p: Kiekvieno bandymo nesėkmės tikimybė.
Binominio skirstinio tikimybės masės funkcija yra:
\[ P(X = k) = {n \pasirinkite k} p^k (1-p)^{nk} \]
mano:
– (n = n!}{k!(nk)!)
– \(X \): Atsitiktinis kintamasis, rodantis sėkmių skaičių.
– \(k \): Siekiamas sėkmių skaičius.
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
Pradėkime nuo kelių pavyzdžių, kad išsamiau suprastume binominio skirstinio sąvoką.
1 pavyzdys: Pasirinkimas iš studentų grupės
Pavyzdžiui, tarkime, kad turime 10 studentų grupę ir tikimybė, kad kiekvienas studentas bus atrinktas dalyvauti konkurse, yra 0,3. Norime sužinoti tikimybę, kad bus atrinkti lygiai 4 studentai.
1 veiksmas: nustatykite binominio skirstinio parametrus.
– (n = 10)
– (p = 0.3)
2 veiksmas: binominio skirstinio pagalba apskaičiuokite (X = 4) tikimybę.
\[P(X = 4) = {10 \pasirinkite 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Skaičiuojama \( {10 \pasirinkite 4} \):
\[ {10 \pasirinkite 4} = \frac{10!}{4!(10 - 4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Dabar apskaičiuokite \( (0.3)^4 \) ir \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Jadi,
\[P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \apytiksliai 0.20012 \]
Taigi, tikimybė, kad bus atrinkti lygiai 4 studentai, yra maždaug 0.20012 arba 20.012 %.
2 pavyzdys: Tikimybė mažesnė arba lygi 2
Pavyzdžiui, dabar mūsų klausiama apie tikimybę, kad bus atrinkti mažiau arba lygu 2 studentai.
1 veiksmas: Turime apskaičiuoti \(P(X = 0) \), \(P(X = 1) \) ir \(P(X = 2) \).
– Kai P(X = 0)):
\[P(X = 0) = {10 \pasirinkite 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \pasirinkite 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Kai P(X = 1)):
\[P(X = 1) = {10 \pasirinkite 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \pasirinkite 1} = 10 \]
\[(0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Kai P(X = 2)):
\[P(X = 2) = {10 \pasirinkite 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \pasirinkite 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
2 veiksmas: sudėkite tikimybes.
\[P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Taigi, tikimybė, kad bus atrinkti mažiau arba lygu 2 studentai, yra maždaug 0.7740671 arba 77.41 %.
3 pavyzdys: Tikimybė bent 8
Jei eksperimentas atliekamas 12 kartų ir kiekvieno bandymo sėkmės tikimybė yra 0.5, kokia tikimybė, kad bus sėkmingi bent 8 bandymai?
1 veiksmas: nustatykite binominius parametrus: \(n = 12, p = 0.5 \).
2 veiksmas: raskite tikimybę \(X \geq 8 \).
Tam reikia apskaičiuoti kelias individualias tikimybes ir jas sudėti:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Skaičiuokite po vieną:
– Kai P(X = 8)):
\[P(X = 8) = {12 \pasirinkite 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \pasirinkite 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– Kai P(X = 9)):
\[P(X = 9) = {12 \pasirinkite 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \pasirinkite 9} = 220 \]
\[P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– Kai P(X = 10)):
\[P(X = 10) = {12 \pasirinkite 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \pasirinkite 10} = 66 \]
\[P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– Kai P(X = 11)):
\[P(X = 11) = {12 \pasirinkite 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \pasirinkite 11} = 12 \]
\[P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– Kai P(X = 12)):
\[P(X = 12) = {12 \pasirinkite 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \pasirinkite 12} = 1 \]
\[P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
3 veiksmas: sudėkite visas tikimybes.
\[P(X ∫ 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \apytiksliai 0.1938477 \]
Taigi, tikimybė, kad per 12 bandymų bus bent 8 sėkmingi, yra maždaug 0.1938477 arba 19.38 %.
Išvada
Binominis skirstinys yra pagrindinė statistikos sąvoka, kuri yra labai svarbi daugelyje praktinių pritaikymų. Suprasdami, kaip apskaičiuoti tikimybes įvairiais binominio skirstinio atvejais, kaip parodyta aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose, galime pritaikyti šią sąvoką realiose situacijose. Šis pratimas taip pat sustiprina mūsų supratimą apie tai, kaip tikimybių struktūros veikia aiškiame ir organizuotame kontekste.
