Matematinio išsiplėtimo diskusijų klausimų pavyzdys
Išplėtimas, arba didinimo ir mažinimo transformacija, yra svarbi transformacijų geometrijos sąvoka. Ši sąvoka dažnai vartojama įvairiuose kontekstuose, pavyzdžiui, tiriant modelius, simetriją ir daugelyje kitų realaus gyvenimo sričių. Šiame straipsnyje bus aptarta išplėtimo sąvoka matematikoje ir pateikti keli uždavinių bei sprendimų pavyzdžiai.
Kas yra išsiplėtimas?
Išplėtimas yra geometrinė transformacija, kurios metu figūra padidinama arba sumažinama tam tikru mastelio koeficientu. Išsiplėtimo metu geometrinės figūros taškas pasislinks tolyn arba arčiau išsiplėtimo centro taško tuo pačiu daugikliu. Išplėtimas gali padidinti (mastelio koeficientas > 1), sumažinti (0 < mastelio koeficientas < 1) arba net atspindėti formą, jei mastelio koeficientas yra neigiamas. Žymėjimai išplėtime Atliekant išplėtimą, dažnai naudojami šie žymėjimai: - Išplėtimo centras (P): fiksuotas taškas, naudojamas kaip atskaitos taškas išplėtimo procese. - Mastelio koeficientas (k): Ilgio santykis, lemiantis padidinimo arba sumažinimo mastą. Jei \(k > 1 \), objektas bus padidintas. Jei \(0 < k < 1 \), objekto dydis sumažės. Tarkime, kad taškas A, kurio koordinatės (x, y), yra išplečiamas iki taško A' su mastelio koeficientu k, o išplėtimo centras yra O (0,0), tada A' koordinatės yra (kx, ky). Išplėtimo formulė Norint rasti naujas taško išplėtimo gautas koordinates, naudojama formulė: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \], kur (x, y) yra pradinės taško koordinatės, o k yra mastelio daugiklis. Pavyzdiniai klausimai ir diskusija 1 pavyzdys. Taškas A (2, 3) yra išplečiamas mastelio koeficientu 2, o išplėtimo centras yra taške O (0, 0). Nustatykite taško A koordinates po išplėtimo. Aptarimas: Taško A koordinatės yra (2, 3), mastelio daugiklis k = 2, o išsiplėtimo centras yra taškas O (0, 0). Pagal išplėtimo formulę: \[ A' = (kx, ky) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6) \] Taigi taško A koordinatės po išplėtimo yra (4, 6). 2 klausimo pavyzdys. Taškas B (-1, 4) yra išplečiamas mastelio koeficientu 0,5, o išplėtimo centras yra ties O (0, 0). Nustatykite taško B koordinates po išplėtimo. Aptarimas: Taško B koordinatės yra (-1, 4), mastelio daugiklis k = 0,5, o išsiplėtimo centras yra taškas O (0, 0). Pagal išplėtimo formulę: \[ B' = (kx, ky) = (0,5 \cdot -1, 0,5 \cdot 4) = (-0,5, 2) \] Taigi taško B koordinatės po išplėtimo yra (-0,5, 2). 3 pavyzdžio klausimas. Taškas C (3, -2) yra išplečiamas mastelio koeficientu -1, o išplėtimo centras yra taške O (0, 0). Nustatykite taško C koordinates po išplėtimo. Aptarimas: Taško C koordinatės yra (3, -2), mastelio daugiklis k = -1, o išsiplėtimo centras yra taškas O (0, 0). Pagal išplėtimo formulę: \[ C' = (kx, ky) = (-1 \cdot 3, -1 \cdot -2) = (-3, 2) \] Taigi taško C koordinatės po išplėtimo yra (-3, 2). 4-ojo klausimo pavyzdys. Taškas D (2, 5) yra išplečiamas mastelio koeficientu 3, o išplėtimo centras yra taške P (1, 1). Nustatykite taško D koordinates po išplėtimo. Aptarimas: Taško D koordinatės yra (2, 5), mastelio daugiklis k = 3, o išsiplėtimo centras yra taškas P (1, 1). Pirma, tašką D perkeliame į išplėtimo centro koordinačių sistemą P (1, 1): Santykinės D ir P koordinatės yra: \[ D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4) \] Atliekame išplėtimą su mastelio koeficientu k taške D_r: \[ D_r' = (kx, ky) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (3, 12) \] Galiausiai tašką D_r' grąžiname į pradinę koordinačių sistemą: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] Taigi, taško D koordinatės po išplėtimo yra (4, 13). 5-ojo klausimo pavyzdys. Taškas E (-2, -3) yra išplečiamas mastelio koeficientu 0,25, o išplėtimo centras yra taške P (-1, -1). Nustatykite taško E koordinates po išplėtimo. Aptarimas: Taško E koordinatės yra (-2, -3), mastelio daugiklis k = 0,25, o išsiplėtimo centras yra taškas P (-1, -1). Pirma, tašką E perkeliame į išplėtimo centro koordinačių sistemą P (-1, -1): Santykinės E koordinatės P atžvilgiu yra: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] Atliekame išplėtimą su mastelio koeficientu k taške E_r: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 \cdot -1, 0,25 \cdot -2) = (-0,25, -0,5) \] Galiausiai tašką E_r' grąžiname į pradinę koordinačių sistemą: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] Taigi, taško E koordinatės po išplėtimo yra (-1,25, -1,5). Išvada Išplėtimas yra geometrinė transformacija, kuri padidina arba sumažina geometrinę figūrą tam tikru mastelio koeficientu. Suprasti dilatacijos sąvoką ir taikymą yra labai naudinga įvairiose studijų srityse, ypač geometrijoje. Tikimasi, kad pavyzdžiais ir diskusijomis tai padės studentams ir skaitytojams geriau suprasti ir pritaikyti dilatacijos sąvoką įvairiose matematinėse situacijose.
