Pavyzdiniai klausimai apie sudėtingus skaičius
Kompleksiniai skaičiai yra dažnai sutinkama matematikos tema tiek vidurinėje mokykloje, tiek kolegijoje. Kompleksiniai skaičiai susideda iš dviejų dalių: realiosios ir menamosios dalies. Naudojant įprastą žymėjimą, kompleksinis skaičius rašomas taip: \(z = a + bi \), kur \(a \) ir \(b \) yra realieji skaičiai, o \(i \) yra menamasis vienetas, turintis savybę \(i^2 = -1 \). Šiame straipsnyje bus pateikti keli kompleksinių skaičių pavyzdžiai ir jų aptarimas, pradedant pagrindiniais veiksmais ir baigiant taikymais sprendžiant problemas.
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1. Kompleksinių skaičių sudėtis ir atimtis
1 klausimas
Tegu \(z_1 = 3 + 4i \) ir \(z_2 = 1 – 2i \). Apskaičiuokite \(z_1 + z_2 \) ir \(z_1 – z_2 \).
Pembahasanas
Norėdami sudėti arba atimti kompleksinius skaičius, tiesiog veikiame realiąją dalį su realiąja, o įsivaizduojamąją – su įsivaizduojamąja.
Papildymas:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
Atimtis:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Taigi, \(z_1 + z_2 = 4 + 2i \) ir \(z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. Kompleksinių skaičių daugyba
2 klausimas
Apskaičiuokite \(z_1 = 2 + 3i \) sandaugą iš \(z_2 = 4 – i \).
Pembahasanas
Norėdami padauginti du kompleksinius skaičius, naudojame algebros skirstomąją savybę:
\[
z_1 ∫cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Mes padauginame kiekvieną komponentą:
\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Kadangi \(i^2 = -1 \), tai:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Taigi, sandauga \(z_1 \cdot z_2 \) yra \(11 + 10i \).
3. Kompleksinių skaičių dalyba
3 klausimas
Apskaičiuokite dalmenį \(z_1 = 3 + 4i \) iš \(z_2 = 1 – i \).
Pembahasanas
Norint padalyti kompleksinį skaičių, skaitiklį ir vardiklį padauginame iš kompleksinio skaičiaus vardiklio jungtinės sumos. \(1 – i \) jungtinė suma yra \(1 + i \).
\[
∫\frac{3 + 4i}{1 – i} ∫\cdot ∫\frac{1 + i}{1 + i} = ∫\frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Pirmiausia apskaičiuokime vardiklį:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Dabar apskaičiuojame skaitiklį:
\[
(3 + 4i) (1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4 (-1) = 3 + 7i - 4 = -1 + 7i
\]
Taigi, rezultatas yra toks:
\[
∫\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + ∫\frac{7}{2}i
\]
4. Kompleksinių skaičių modulis ir argumentas
4 klausimas
Nustatykite \(z = 1 + i \) modulį ir argumentą.
Pembahasanas
Kompleksinio skaičiaus (z = a + bi) modulis yra:
\[
|z| = ∫qrt{a^2 + b^2}
\]
Kai z = 1 + i, turime a = 1 ir b = 1:
\[
|z| = ∫qrt{1^2 + 1^2} = ∫qrt{2}
\]
Kompleksinio skaičiaus argumentas yra kampas \( \theta \), sudarytas su teigiama realiąja ašimi, matuojamas nuo pradžios taško link taško \(a, b) \).
\[
θ = π^{-1}(frac{b}{a})
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Taigi, \(z = 1 + i \) modulis yra \( \sqrt{2} \), o argumentas yra \( \frac{\pi}{4} \).
5. Eksponentinė forma ir Eulerio šablonas
5 klausimas
Kompleksinį skaičių \(z = 1 + i \) konvertuokite į eksponentinę formą.
Pembahasanas
Kompleksinių skaičių eksponentinė forma naudojant Eulerio formulę:
\[
z = re^{i\theta}
\]
Kur \(r \) yra modulis, o \( \theta \) yra argumentas. Iš ankstesnės diskusijos žinome, kad:
\[
r = ∫qrt{2}, ∫heta = ∫frac{\pi}{4}
\]
Taigi, eksponentinė forma yra:
\[
z = ∫²⁻¹⁻¹⁻¹
\]
6. Kompleksinių skaičių šaknys
6 klausimas
Raskite kompleksinio skaičiaus (z = -1) kvadratines šaknis.
Pembahasanas
Kompleksinių skaičių kvadratines šaknis galima rasti naudojant poliarinę arba eksponentinę formą. Konvertuojame \(z = -1 \) į eksponentinę formą:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
Kvadratinę šaknį iš \(e^{i\pi} \) galima užrašyti taip:
\[
z_k = ∫qrt{r} ∫cdot e^{i(heta + 2kπ)/n}
\]
Kai r = 1, theta = π, n = 2 ir k = 0, 1:
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Taigi, \(-1 \) kvadratinės šaknys yra \(i \) ir \(-i \).
7. Taikymas kvadratinėse lygtyse
7 klausimas
Išspręskite kvadratinę lygtį \(z^2 + 4z + 13 = 0 \).
Pembahasanas
Galime naudoti kvadratinę formulę:
\[
z = ∫₀b₀₀ / ∫₀b₂⁻² – 4ac₀ / 2a
\]
Lygčiai \(z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16–52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
Taigi, \(z^2 + 4z + 13 = 0 \) sprendiniai yra \(z = -2 + 3i \) ir \(z = -2 – 3i \).
Išvada
Kompleksiniai skaičiai yra labai plati matematinė sąvoka, turinti daug pritaikymų. Suprasdami pagrindines operacijas, tokias kaip sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba, taip pat kaip apskaičiuoti modulį ir argumentą, galime išspręsti įvairius su kompleksiniais skaičiais susijusius uždavinius. Tikimės, kad aukščiau pateikti pavyzdžiai padės jums geriau suprasti ir įvaldyti šią temą.
