Pavyzdiniai klausimai apie sekas ir serijas
Sekos ir eilutės yra pagrindinės matematikos sąvokos, dažnai sutinkamos nuo pradinės mokyklos iki koledžo. Seka yra skaičių rinkinys, išdėstytas pagal konkrečią taisyklę, o eilutė yra tos sekos narių suma. Šiame straipsnyje aptarsime keletą pavyzdžių uždavinių ir aptarsime sekas bei eilutes.
1 pavyzdys: Aritmetinė seka
Klausimas:
Duota aritmetinė seka, kurios pirmasis narys (a) = 3, o skirtumas (d) = 5. Nustatykite:
1. Dešimtasis sekos narys.
2. Pirmųjų 20 sekos narių suma.
Diskusija:
1. 10-asis terminas
Aritmetinės sekos n-tojo nario formulė yra:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
10-ajam semestrui (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) √5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Pirmųjų 20 narių suma
Aritmetinės sekos pirmųjų n narių sumos (S_n) formulė yra:
\[
S_n = ∫\frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Pirmųjų 20 narių sumai (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20 - 1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
2 pavyzdys: Geometrinė eilutė
Klausimas:
Duota geometrinė seka, kurios pirmasis narys (a) = 4, o santykis (r) = 2. Nustatykite:
1. Dešimtasis sekos narys.
2. Pirmųjų 8 sekos narių suma.
Diskusija:
1. 6-asis terminas
Geometrinės sekos n-tojo nario formulė yra:
\[
U_n = a ∫cdot r^{(n-1)}
\]
6-ajam semestrui (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
2. Pirmųjų 8 narių suma
Geometrinės sekos pirmųjų n narių sumos (S_n) formulė yra:
\[
S_n = a ∫frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Pirmųjų 8 narių sumai (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
3 pavyzdys: Konverguojanti geometrinė begalinė eilutė
Klausimas:
Duota geometrinė eilutė, kurios pirmasis narys (a) = 1, o santykis (r) = 1/2. Apskaičiuokite begalinės eilutės sumą.
Diskusija:
Konverguojančios geometrinės eilutės begalinės eilutės (S_∞) sumos formulė yra:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Taigi, šiai serijai:
\[
S_{\infty} = ∫\frac{1}{1 – ∫\frac{1}{2}} = ∫\frac{1}{2}} = 2
\]
4 pavyzdys: Kvadratinių skaičių sekos ir serijos
Klausimas:
Duota kvadratinių skaičių seka, kurios pirmasis narys (U_1) = 1, antrasis narys (U_2) = 4, o trečiasis narys (U_3) = 9. Nustatykite penktąjį sekos narį. Ar ši seka yra aritmetinė, ar geometrinė? Paaiškinkite.
Diskusija:
1. 5-asis terminas
Kvadratinių skaičių sekos schema yra tokia:
\[
U_n = n^2
\]
5-ajam semestrui (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Linijos tipas
Norėdami patikrinti, ar ši seka yra aritmetinė, ar geometrinė, patikrinkite skirtumą tarp narių (bendrą skirtumą) ir santykį tarp narių:
– Skirtumas tarp terminų (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Kadangi skirtumas nėra pastovus, ši seka nėra aritmetinė.
– Genčių tarpusavio santykis (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Kadangi santykis tarp terminų nėra pastovus, ši seka nėra geometrinė.
Taigi, ši kvadratinių skaičių seka nėra nei aritmetinė, nei geometrinė seka, o veikiau speciali seka, kuri seka kvadratinių skaičių modelį.
5 pavyzdys: Begalinė aritmetinė eilutė
Klausimas:
Ar įmanoma apskaičiuoti begalinės aritmetinės eilutės sumą? Jei taip, pateikite pavyzdį. Jei ne, paaiškinkite, kodėl.
Diskusija:
Skirtingai nuo geometrinių eilučių, begalinės aritmetinės eilutės paprastai neturi baigtinės sumos. Taip yra todėl, kad kiekvienas narys tiesiškai didėja arba mažėja, todėl suma toliau auga neribotą laiką.
Pavyzdžiui, panagrinėkime begalinę aritmetinę eilutę, kurios pirmasis narys yra 1, o bendras skirtumas – 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Jei bandysime jas susumuoti, paaiškės, kad eilutė nekonverguoja į fiksuotą reikšmę, o artės prie begalybės. Todėl begalinės aritmetinės eilutės suma paprastai yra begalinė ir negali būti apskaičiuojama kaip konverguojančios geometrinės eilutės.
-
Šiame straipsnyje aptarėme keletą pavyzdinių uždavinių ir aptarėme sekas bei eilutes. Apžvelgėme aritmetines ir geometrines sekas, matėme, kaip apskaičiuoti n-tąjį narį ir jo pirmųjų narių sumą, ir atsakėme į klausimus apie begalines eilutes. Tikimės, kad supratę šias pagrindines sąvokas ir pavyzdžius, jausitės labiau užtikrintai, nagrinėdami sekas ir eilutes matematikoje.
