Pavyzdiniai klausimai, aptariantys aritmetines sekas
Aritmetinės sekos yra pagrindinė matematikos sąvoka, dažnai vartojama įvairiuose egzaminuose ir realaus pasaulio taikymuose. Aritmetinė seka yra skaičių seka, kurioje skirtumas tarp kiekvienų dviejų iš eilės einančių narių yra pastovus. Šiame straipsnyje mes išsamiau panagrinėsime aritmetinių sekų sąvoką, pateikdami keletą pavyzdžių su išsamiais paaiškinimais.
Apibrėžimai ir žymėjimai
Prieš pradedant spręsti pavyzdinius uždavinius, svarbu suprasti aritmetinėse sekose dažnai naudojamą žymėjimą. Jei \(a\) yra pirmasis narys, o \(d\) yra bendras skirtumas (konstanta reikšmė), tai aritmetinę seką galima užrašyti taip:
\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]
Šios sekos n-tąjį narį (Un) galima suformuluoti taip:
[U_n = a + (n-1)d]
Toliau pateikiami keli klausimų pavyzdžiai ir jų aptarimai, kad būtų lengviau suprasti aritmetines sekas.
1 pavyzdžio klausimas
Klausimas:
Duota aritmetinė seka, kurios pirmasis narys yra a = 5, o bendras skirtumas yra d = 3. Nustatykite 10-ąjį sekos narį.
Diskusija:
Naudojant bendrąją formulę n-tajam nariui, būtent (U_n = a + (n-1)d):
\[U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Taigi, 10-asis sekos narys yra 32.
2 pavyzdžio klausimas
Klausimas:
Duota aritmetinė seka, kurios penktasis narys yra 20, o aštuntasis – 35. Nustatykite sekos pirmąjį narį \(a\) ir bendrą skirtumą \(d\).
Diskusija:
Iš klausimo žinome:
\[U_5 = a + 4d = 20 \]
\[U_8 = a + 7d = 35 \]
Atimkite abi lygtis, kad pašalintumėte \(a\):
\[ (a + 7 d) – (a + 4 d) = 35 - 20 \]
\[3d = 15 \]
\[ d = 5 \]
Dabar pakeičiame į d = 5, kad rastume a:
\[a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Taigi, pirmasis sekos narys yra 0, o skirtumas yra 5.
3 pavyzdžio klausimas
Klausimas:
Kokia yra aritmetinės sekos, kurios pirmasis narys yra \(a = 2\), o bendras skirtumas \(d = 4\), pirmųjų 20 narių suma?
Diskusija:
Aritmetinės sekos pirmųjų n narių sumą galima apskaičiuoti pagal formulę:
\[S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d \right) \]
Šiai eilutei:
\[S_{20} = \frac{20}{2} \left(2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[S_{20} = 10 \left(4 + 76 \right) \]
\[S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[S_{20} = 800 \]
Taigi, pirmųjų 20 sekos narių suma yra 800.
4 pavyzdžio klausimas
Klausimas:
Trečiasis aritmetinės sekos narys yra 15, o septintasis – 27. Raskite 12-ąjį sekos narį.
Diskusija:
Pirmiausia turime rasti reikšmes \(a\) ir \(d\). Iš klausimo žinome:
\[U_3 = a + 2d = 15 \]
\[U_7 = a + 6d = 27 \]
Atimkite abi lygtis, kad pašalintumėte \(a\):
\[ (a + 6 d) – (a + 2 d) = 27 - 15 \]
\[4d = 12 \]
\[ d = 3 \]
Dabar pakeičiame į d = 3, kad rastume a:
\[a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
Naudojant n-tąjį narį formulę, norint rasti 12-ąjį narį:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Taigi, 12-asis sekos narys yra 42.
5 pavyzdžio klausimas
Klausimas:
Aritmetinė seka, kurios pirmasis narys yra \(a\) ir bendras skirtumas \(d\), turi pirmųjų 10 narių sumą, t. y. 55. Jei \(d = 1\), nustatykite pirmąjį narį \(a\).
Diskusija:
Duota \(d = 1\) ir \(S_{10} = 55\). Pirmųjų narių sumai apskaičiuoti naudokite formulę:
\[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Kai n = 10:
\[S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[5 (2a + 9) = 55 \]
\[2a + 9 = 11 \]
\[2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Taigi, pirmasis sekos narys yra 1.
Išvada
Aritmetinės sekos yra pagrindinė matematikos sąvoka, labai naudinga įvairiose srityse. Šiame straipsnyje aptarėme keletą aritmetinių sekų ir jų sprendinių pavyzdžių. Geras aritmetinių sekų formulių ir pagrindinių savybių supratimas bus labai naudingas sprendžiant įvairius su šia tema susijusius uždavinius.
Tikimasi, kad praktikuodami tokius pavyzdžius kaip aukščiau pateikti, įgysite daugiau įgūdžių ir greičiau spręsdami uždavinius, susijusius su aritmetinėmis sekomis.
