Pavyzdiniai klausimai, kuriuose aptariama dviejų įvykių A ir B, kurie nėra tarpusavyje nesuderinami, pridėjimo taisyklė
Pendahuluanas
Tikimybių teorijoje labai svarbu suprasti pagrindines sąvokas ir jų taikymą. Viena dažnai iškylanti sąvoka yra tikimybių sudėties taisyklė. Šiame straipsnyje mes išsamiau panagrinėsime dviejų vienas kito neišskiriančių įvykių sudėties taisyklę. Neišskiriami įvykiai įvyksta, kai du įvykiai turi bendrą galimą elementą, kitaip tariant, abu įvykiai gali įvykti vienu metu. Kad būtų lengviau suprasti, panagrinėkime pavyzdinę problemą ir jos paaiškinimą.
Pagrindinė teorija
Jei turime du įvykius A ir B, kurie vienas kito nepaneigia, tai sudėties taisyklę įvykio A arba B tikimybei apskaičiuoti galima išreikšti taip:
\[ P(A √B) = P(A) + P(B) – P(A √B) \]
Čia:
– ∫P(A ∫B) ∫ yra tikimybė, kad įvyks A arba B (arba abu).
– P(A) yra įvykio A tikimybė.
– P(B) yra įvykio B įvykimo tikimybė.
– ∫P(A ∫B) ∫ yra tikimybė, kad A ir B įvyks vienu metu.
Problemų pavyzdys
1 klausimas: Mokykloje 70 % mokinių mėgsta žaisti futbolą (A įvykis), 40 % mokinių mėgsta žaisti krepšinį (B įvykis), o 20 % mokinių mėgsta žaisti abi sporto šakas. Kokia tikimybė, kad mokiniui patinka žaisti futbolą arba krepšinį?
Diskusija:
Yra žinoma:
– (P(A) = 0.70)
– (P(B) = 0.40)
– (P(A, B virš.) = 0.20)
Naudojant dviejų vienas kitą paneigiančių įvykių sudėjimo taisyklę:
\[ P(A √B) = P(A) + P(B) – P(A √B) \]
\[P(A \puodelis B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[P(A \puodelis B) = 0.90 \]
Taigi, tikimybė, kad studentui patinka žaisti futbolą ar krepšinį, yra 0.90 arba 90 %.
2 klausimas: Apklausoje 35 % respondentų mėgsta kavą (A įvykis), 50 % respondentų mėgsta arbatą (B įvykis) ir 10 % respondentų mėgsta abu. Kokia tikimybė, kad respondentui patinka kava, ar arbata?
Diskusija:
Yra žinoma:
– (P(A) = 0.35)
– (P(B) = 0.50)
– (P(A, B virš.) = 0.10)
Naudojant dviejų vienas kitą paneigiančių įvykių sudėjimo taisyklę:
\[ P(A √B) = P(A) + P(B) – P(A √B) \]
\[P(A \puodelis B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[P(A \puodelis B) = 0.75 \]
Taigi, tikimybė, kad respondentas mėgsta kavą ar arbatą, yra 0.75 arba 75 %.
3 klausimas: Remiantis statistiniais duomenimis, žinoma, kad 60 % žmonių mėgsta skaityti knygas (įvykis A), 30 % žmonių mėgsta žiūrėti filmus (įvykis B) ir 15 % žmonių mėgsta daryti abu dalykus. Kokia tikimybė, kad žmogui patinka skaityti knygas arba žiūrėti filmus?
Diskusija:
Yra žinoma:
– (P(A) = 0.60)
– (P(B) = 0.30)
– (P(A, B virš.) = 0.15)
Naudojant dviejų vienas kitą paneigiančių įvykių sudėjimo taisyklę:
\[ P(A √B) = P(A) + P(B) – P(A √B) \]
\[P(A \puodelis B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[P(A \puodelis B) = 0.75 \]
Taigi, tikimybė, kad žmogus mėgsta skaityti knygas ar žiūrėti filmus, yra 0.75 arba 75 %.
4 klausimas: Apklausus restorane, 55 % klientų užsisakė picą (A įvykis), 35 % klientų užsisakė makaronus (B įvykis) ir 20 % klientų užsisakė abu. Kokia tikimybė, kad klientas užsisakys picą arba makaronus?
Diskusija:
Yra žinoma:
– (P(A) = 0.55)
– (P(B) = 0.35)
– (P(A, B virš.) = 0.20)
Naudojant dviejų vienas kitą paneigiančių įvykių sudėjimo taisyklę:
\[ P(A √B) = P(A) + P(B) – P(A √B) \]
\[P(A \puodelis B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[P(A \puodelis B) = 0.70 \]
Taigi, tikimybė, kad klientas užsisakys picą ar makaronus, yra 0.70 arba 70 %.
Išvada
Tiriant tikimybę, dviejų vienas kito neišskiriančių įvykių A ir B sudėties taisyklė yra labai svarbi norint nustatyti vieno ar abiejų įvykių vienu metu įvykimo tikimybę. Naudojant formulę \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \), lengva apskaičiuoti dviejų įvykių, turinčių sankirtą arba bendrą elementą, bendrą tikimybę.
Iš pateiktų pavyzdžių matome, kad supratimas apie pagrindinius šio skaičiavimo veiksmus leidžia mums jį pritaikyti įvairiose situacijose – švietime, apklausose ar kasdieniame gyvenime. Aiškumas ir tikslumas nustatant, kurie įvykiai turi bendrų elementų, yra labai svarbūs norint teisingai apskaičiuoti tikimybę. Todėl nuosekli praktika ir pagrindinių sąvokų supratimas labai padės įvaldyti šią temą.
