Pavyzdiniai klausimai, kuriuose aptariamos tarpų užpildymo taisyklės
Vietos užpildymo taisyklė arba išdėstymo taisyklė yra pagrindinė matematikos ir tikimybių sąvoka, kuri yra labai naudinga daugelyje situacijų. Ši taisyklė paprastai naudojama objektų išdėstymo tam tikra tvarka arba skirtingais išdėstymais kontekste. Šiame straipsnyje aptarsime keletą pavyzdžių, susijusių su vietos užpildymo taisykle, ir pateiksime išsamius kiekvienos iš jų sprendimus.
Pendahuluanas
Erdvės užpildymas yra įprasta technika, naudojama kombinatorikoje – matematikos srityje, tiriančioje objektų išdėstymą, derinimą ir pasirinkimą. Vienas iš pagrindinių kombinatorikos principų yra daugybos taisyklė, teigianti, kad jei procese yra keli etapai ir kiekvienas etapas turi tam tikrą skaičių pasirinkimų, tai bendrą galimų išdėstymų skaičių galima rasti padauginus kiekvieno etapo pasirinkimų skaičių.
Pavyzdžiui, jei turime du etapus, kur pirmasis etapas turi \(m\) pasirinkimų, o antrasis etapas turi \(n\) pasirinkimų, tai bendras galimų išdėstymų skaičius yra \(m \x n\).
Pritaikykime šią koncepciją keliems pavyzdiniams uždaviniams išspręsti.
1 pavyzdys: Knygų išdėstymas lentynoje
Klausimas:
Yra 5 skirtingos knygos ir knygų lentyna su 5 užpildytomis vietomis. Kiek būdų galima išdėstyti penkias knygas lentynoje?
Diskusija:
Šiuo atveju turime išdėstyti penkias knygas penkiose skirtingose erdvėse. Tai yra permutacijos problema, nes tvarka yra labai svarbi. Šiai problemai išspręsti galime naudoti erdvės užpildymo taisyklę arba daugybos taisyklę.
1. Pirmam kambariui turime 5 knygų pasirinkimus.
2. Padėjus vieną knygą pirmame kambaryje, antrajam kambariui lieka 4 knygų pasirinkimai.
3. Trečiajam kambariui liko 3 knygų pasirinkimai ir taip toliau.
Bendro nustatymų skaičiaus lygtis yra:
\[5 \kartais 4 \kartais 3 \kartais 2 \kartais 1 = 5! = 120 \]
Taigi, yra 120 būdų, kaip sudėlioti penkias knygas.
2 pavyzdys: Žodžių sudarymas iš skirtingų raidžių
Klausimas:
Kiek skirtingų žodžių galima sudaryti naudojant visas žodžio „MATHEMATICS“ raides jų nekartojant?
Diskusija:
Pirmiausia turime išsiaiškinti, kiek raidžių yra žodyje „MATHEMATICS“. Yra 11 raidžių, kai kurios iš jų kartojasi. Pasikartojančios raidės yra:
– M net 2
– Net 3
– T net 2
– Kitos raidės (E, I, K) pasirodo po vieną kartą.
Pasikartojantiems elementams naudojame permutacijos formulę, būtent:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
kur \(n \) yra bendras elementų (raidžių) skaičius, o \(n_1, n_2, \ldots, n_k \) yra kiekvieno atskiro elemento pasikartojimų skaičius.
Su žodžiu „MATEMATIKA“:
\[n = 11, n_1 = 2 \text{ (M)}, n_2 = 3 \text{ (A)}, n_3 = 2 \text{ (T)}, n_4 = 1 \text{ (E)}, n_5 = 1 \text{ (I)}, n_6 = 1 \text{ (K)} \]
Taigi, žodžių, kuriuos galima sudaryti, skaičius yra:
\[ \frac{11!}{2! \kartus 3! \kartus 2! \kartus 1! \kartus 1! \kartus 1!} = \frac{39916800}{2 \kartus 6 \kartus 2 \kartus 1 \kartus 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Yra 1 663 200 skirtingų žodžių, kuriuos galima sudaryti.
3 pavyzdys: Derinių skaičiaus nustatymas Martabake
Klausimas:
Martabako pardavėjas siūlo penkis įdarus (sūrio, šokolado, žemės riešutų, bananų ir razinų). Jei klientas nori pasirinkti tris iš penkių įdarų savo martabakui, kiek skirtingų derinių jis gali pasirinkti?
Diskusija:
Tai kombinavimo, o ne permutacijos uždavinys, nes eilės tvarka nesvarbi. Naudojame kombinavimo formulę:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
kur \(n \) yra bendras pasirinkimų skaičius, o \(k \) yra atliktų pasirinkimų skaičius.
Šiuo atveju n = 5 ir k = 3, taigi:
\[C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
Yra 10 skirtingų derinių, iš kurių galite pasirinkti 3 turinį iš 5 variantų.
4 pavyzdys: Dalyvių išdėstymas rungtynėse
Klausimas:
Bėgimo lenktynėse dalyvauja 8 dalyviai. Kiek būdų gali būti suskirstyti 3 geriausius finišavusius dalyvius?
Diskusija:
Tai permutacijos uždavinys be pasikartojimų, nes pozicija reiškia, kad tvarka yra svarbi. Naudojame permutacijos formulę:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Šiuo atveju, n = 8 ir k = 3, tada:
\[P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Taigi, yra 336 būdai, kaip užimti tris geriausias 8 dalyvių pozicijas.
Šiame straipsnyje aptarėme keletą pavyzdinių uždavinių ir jų sprendimų, naudodami vietos užpildymo taisykles įvairiose situacijose: nuo knygų išdėstymo lentynoje iki konkurso nugalėtojo nustatymo. Šių pagrindų supratimas suteiks jums daugiau pasitikėjimo sprendžiant įvairius kombinatorikos ir tikimybių uždavinius, su kuriais galite susidurti.
