Wéi een Quartilen, Dezilen a Prozentilen a statisteschen Donnéeën berechent
An der Statistik musse mir dacks d'Positioun vun engem Wäert an engem Datesaz kennen. D'Berechnung vum Duerchschnëtt oder Median ass net genuch, well dës Moossname net beschreiwen, wéi d'Donnéeë verdeelt sinn a wéi eng Observatioun mat aneren am Verglach ass. Hei kommen Quartilen, Dezilen a Perzentilen an d'Spill. Dës dräi sinn Positiounsmoossnamen, déi sortéiert Donnéeën a gläich Deeler opdeelen. Dësen Artikel diskutéiert d'Definitioun, allgemeng Schrëtt a wéi een Quartilen, Dezilen a Perzentilen fir souwuel eenzel wéi och gruppéiert Donnéeën berechent.
-
1. Grondkonzept : D'Donnéeë musse sortéiert ginn
Ier mer Quartilen, Dezilen oder Perzentilen berechent, ass de wichtegste Schrëtt d'Donnéeën vun der klengster bis zur gréisster ze sortéieren. Soubal d'Donnéeën sortéiert sinn, kënne mir d'Lag vun de Quartilen, Dezilen oder Perzentilen op Basis vun hiren Indexpositioune bestëmmen.
Am Allgemengen:
– Quartilen deelen d'Donnéeën a 4 Deeler op.
– Dezilen deelen d'Donnéeën an 10 Deeler op.
– Prozentiler deelen d'Donnéeën an 100 Deeler op.
An der Praxis gi Quartilen, Dezilen a Perzentilen dacks fir d'Analyse vun Testergebnissen, Akommesdaten, anthropometresch Miessungen (Gréisst/Gewiicht) a Leeschtungsbeurteilung benotzt.
-
2. Wéi een Quartilen berechent (Q1, Q2, Q3)
A. Quartilen an eenzelen Donnéeën (net gruppéiert)
Quartilen bestinn aus:
– Q1: ënneschte Quartil (25% vun den Donnéeë leien drënner)
– Q2: Median (50%)
– Q3: iewescht Quartil (75%)
Schrëtt fir d'Berechnung vun eenzelne Datenquartilen:
1. Sortéiert d'Donnéeën.
2. Berechent d'Quartilpositioun mat der Positiounsformel:
– Positioun Q1 = \((n+1)/4\)
– Positioun Q2 = \(2(n+1)/4\) oder \((n+1)/2\)
– Positioun Q3 = \(3(n+1)/4\)
Wann d'Positioun eng ganz Zuel ass, huelt de Wäert op där Positioun. Wann d'Positioun e Bréch ass, interpoléiert (huelt de Wäert tëscht den zwou nooste Datenpunkten).
E kuerzt Beispill:
Sortéiert Donnéeën: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Positioun Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → läit tëscht dem 2. an 3. Datenwäert.
Also läit Q1 tëscht 6 an 7. Interpolatioun:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Quartilen a gruppéierten Donnéeën ( Frequenzverdeelung )
Fir gruppéiert Donnéeën (z.B. Klassintervaller ) ginn d'Quartilen mat der Formel berechent:
\[
Q_k = L + (((k}{4n – F)}{f)) × c
\]
Informatiounen:
– \(Q_k\): k-te Quartil (k = 1,2,3)
– \(L\): ënnescht Rand vun der Quartilklass
– \(n\): Zuel vun den Daten (Gesamtfrequenz)
– (F): kumulativ Frequenz virun der Quartilklass
– \(f\): Frequenz an der Quartilklass
– \(c\): Klasslängt
Allgemeng Schrëtt:
1. Erstellt eng kumulativ Frequenz.
2. Bestëmmt d'Lag vum Quartil: \(k/4 \times n\).
3. Fannt déi Klass, déi dës Positioun enthält.
4. Gitt an d'Formel an.
-
3. Wéi een Dezilen (D1 bis D9) berechent
Dezilen deelen d'Donnéeën an 10 Deeler op, sou datt:
– \(D_1\) weist déi ënnescht 10%-Grenz vun den Donnéeën un,
– \(D_5\) ass gläich dem Median,
– \(D_9\) weist d'Datenlimit vun 90% un.
A. Dezilen an eenzelen Daten
Formel fir d'Positioun vun der Dezil:
\[
Positioun D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
mat \(k = 1,2,\dots,9\).
Soubal d'Positioun kritt ass, ass d'Method fir de Wäert ze huelen déiselwecht wéi fir de Quartil: wann et e ganze Wäert ass, huelt en direkt, wann et e fraktionelle Wäert ass, interpoléiert.
-
B. Dezilen a gruppéierten Donnéeën
Dezilformel fir gruppéiert Daten:
\[
D_k = L + (((k}{10}n – F)}{f)) × c
\]
D'Beschreiwung ass déiselwecht wéi de Quartil, nëmmen den Divisor ass 10.
Langkah:
1. Berechent \(k/10 \mol n\).
2. Bestëmmt d'Dezilklass op Basis vun der kumulativer Frequenz.
3. An d'Formel ersetzen.
Dezilen ginn dacks an der wirtschaftlecher Analyse benotzt, zum Beispill fir d'Akommes vu Leit an 10 Gruppen opzedeelen (Dezil 1 ass déi äermst an Dezil 10 ass déi räichst).
-
4. Wéi een d'Perzentilen (P1 bis P99) berechent
Prozentiler si méi detailléiert, well se d'Donnéeën an 100 Deeler opdeelen. De Wäert P25 = Q1, P50 = Median, a P75 = Q3. Dëst bedeit, datt Quartiler eigentlech e Spezialfall vu Prozentiler sinn.
A. Prozentilen op eenzelen Donnéeën
Formel fir d'Positioun vum Prozentil:
\[
Positioun P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
mat \(k = 1,2,\dots,99\).
D'Prozedur ass déiselwecht: sortéiert d'Donnéeën, berechent d'Positioun, huelt dann de Wäert oder interpoléiert.
-
B. Prozentilen a gruppéierten Donnéeën
Formel fir gruppéiert Datenperzentil:
\[
P_k = L + (((k}{100}n – F)}{f)) × c
\]
D'Schrëtt sinn identesch mat Dezilen/Quartilen:
1. Bestëmmt d'Positioun \(k/100 \times n\).
2. Fannt d'Perzentilklass vun der kumulativer Frequenz.
3. Benotzt d'Formel.
Prozentiler ginn dacks a akademeschen a Gesondheetsbeurteilungen benotzt. Zum Beispill bedeit d'Gréisst vun engem Kand am 80. Perzentil, datt d'Kand méi grouss ass wéi 80% vun de Kanner a sengem Alter.
-
5. Wichteg Tipps a gängeg Feeler
1. D'Donnéeë musse sortéiert ginn (besonnesch fir eenzel Donnéeën). Ouni Sortéierung si Quartilen/Dezilen/Perzentilen ouni Bedeitung.
2. Vergewëssert Iech datt Dir Klassenkanten op gruppéierten Daten benotzt (net Klassengrenzen), wann Dir kontinuéierlech Konzepter benotzt.
3. Déi kumulativ Frequenz muss korrekt sinn, well d'Quartil-/Dezil-/Perzentilklass aus der kumuléierter Frequenz bestëmmt gëtt.
4. Passt op d'Klasslängt op (c). D'Klasslängt däerf net falsch sinn, well dat d'Berechnungsresultater beaflosst.
5. Interpolatioun ass wichteg wann Positiounen net ofgerënnt sinn. Vill Schüler ronne Positiounen direkt of, och wann dëst d'Genauegkeet reduzéiere kann.
-
6. Schlussfolgerung
Quartilen, Dezilen a Perzentilen si wichteg statistesch Instrumenter fir d'Verdeelung vun Daten ze verstoen. Quartilen si gëeegent fir einfach Zesummefassungen (z.B. an engem Boxplot), Dezilen si nëtzlech fir méi detailléiert Gruppéierungen wéi Akommesanalyse, während Perzentilen hëllefen, d'Positioun vun enger ganz spezifescher Persoun an der Populatioun ze evaluéieren. Wann Dir déi grondleeënd Schrëtt verstitt - d'Donnéeën uerdnen, d'Positioun bestëmmen an déi entspriechend Formelen fir eenzel oder gruppéiert Daten benotzen - kënnt Dir Quartilen, Dezilen a Perzentilen mat méi Genauegkeet a Vertrauen berechnen.
Wann Dir wëllt, kann ech e komplett Beispill vun enger gruppéierter Datentabell (Intervall, Frequenz, kumulativ Frequenz) derbäisetzen an dann Q1, D7 a P85 am Detail berechnen, fir d'Übung méi einfach ze maachen.
