Erwaarte Wäert vun der binomialer Verdeelung
D'binomial Verdeelung ass eng vun den am heefegsten optriedende diskrete Wahrscheinlechkeetsverdeelungen an der Statistik a Wahrscheinlechkeet. Dës Verdeelung beschreift d'Zuel vun den Erfolleger an enger Serie vun onofhängege binäre Versich (Versich mat nëmmen zwee Resultater: Erfolleg oder Echec). Fir d'binomial Verdeelung besser ze verstoen, ass et wichteg de Konzept vum Erwaardungswäert ze verstoen, deen den Duerchschnëttswäert vun engem Versuch beschreift, deen iwwer eng laang Zäit widderholl gëtt. Dësen Artikel wäert de Konzept vum Erwaardungswäert am Kontext vun der binomial Verdeelung iwwerpréiwen.
Definitioun vun der Binomialverdeelung
D'binomial Verdeelung entsteet a Kontexter, wou mir eng Rei identesch an onofhängeg Versich duerchféieren, an all Versuch huet zwou géigesäiteg exklusiv Resultater, normalerweis als "Erfolleg" a "Versoen" bezeechent. Zum Beispill, eng Mënz opwerfen (Kapp oder Schwänz), eng Examenfro beäntweren (richteg oder falsch) oder e medizinesche Versuch (geheelt oder net geheelt).
D'binomial Verdeelung gëtt duerch zwéi Parameteren definéiert:
– n , Zuel vun de Versich.
– p , d'Wahrscheinlechkeet vum Erfolleg bei all Versuch.
Grof gesot, wann X eng zoufälleg Variabel ass, déi d'Zuel vun den Erfolleger an n Versich representéiert, dann follegt X enger binomialer Verdeelung mat Parameteren n an p, bezeechent als X ~ Binomial(n, p).
Wahrscheinlechkeetsfunktioun
D'Wahrscheinlechkeetsfunktioun vun der binomialer Verdeelung ass wéi follegt:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
mäi Mann:
– \( \binom{n}{k} \) ass de Binomialkoeffizient, deen als \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) berechent gëtt.
– \(k \) ass déi gewënscht Zuel vun Erfolleger.
– \(n \) ass d'Zuel vun den Versich.
– \(p \) ass d'Wahrscheinlechkeet vum Erfolleg bei all Versuch.
– \( (1-p) \) ass d'Wahrscheinlechkeet vum Echec an all Versuch.
Erwaarte Wäert
Den erwaarten Wäert oder de Mëttelwäert vun enger Wahrscheinlechkeetsverdeelung ass ee vun de wichtegste Moossname fir d'zentral Lag. Fir d'binomial Verdeelung ass den erwaarten Wäert vun enger zoufälleger Variabel X, déi op Binomial(n, p) folgt:
[E(X) = np]
Beweis vum erwaarte Wäert
Fir ze verstoen, firwat den Erwaardungswäert vun der binomialer Verdeelung np ass, kënne mir d'Linearitéitseegeschaft vum Erwaardungswäert benotzen a kucken, wéi d'binär Variabelen zu hirem Bäitrag summéieren.
Loosst eis \(X \) als d'Zuel vun den Erfolleger an n binäre Versich definéieren. Méi spezifesch, loosst \(X_i \) eng zoufälleg Variabel sinn, déi den Ausgang vum i-te Versuch bezeechent, mat \(X_i = 1 \) wann den i-te Versuch en Erfolleg ass, an \(X_i = 0 \) wann en e Feeler ass. Dann kënne mir \(X \) als schreiwen:
[X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Well all \(X_i \) eng binär Variabel mat enger Erfollegswahrscheinlechkeet p ass, ass den erwaarte Wäert vun \(X_i \):
[E(X_i) = 1 ⋅p + 0 ⋅(1-p) = p]
Mir kënnen d'Linearitéitseegeschaft vum Erwaardungswäert fir den Erwaardungswäert vun X benotzen:
[E(X) = E(X_1 + X_2 + ∫+ X_n)]
[E(X) = E(X_1) + E(X_2) + ∫+ E(X_n)]
[E(X) = p + p + ∫+ p]
[E(X) = np]
Dëst weist, datt den erwaarte Wäert vun der binomialer Verdeelung np ass.
Illustrativt Beispill
Betruecht de Fall, wou mir eng fair Mënz 10 Mol opwerfen. Loosst eis froen, wat den erwaarte Wäert vun der Unzuel vun den Opwerfen ass, déi zu Käpp féieren.
An dësem Fall:
– n = 10 (Zuel vun de Mënzwërf)
– p = 0.5 (Wahrscheinlechkeet fir Käpp ze kréien, well d'Mënz fair ass)
Also, den erwaarten Wäert ass:
[E(X) = np = 10 × 0.5 = 5]
Dat heescht, wann mir eng Mënz laangfristeg 10 Mol widderholl opwerfen, kréie mir am Duerchschnëtt 5 Mol Käpp.
Varianz an Standardofwäichung
Nieft dem Erwaardungswäert ass et och wichteg, d'Varianz an d'Standardofwäichung vun der binomialer Verdeelung ze verstoen.
Fir d'binomial Verdeelung sinn d'Varianz \( \sigma^2 \) an d'Standardofwäichung \( \sigma \) wéi follegt:
[ \sigma^2 = np(1-p) \]
[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
D'Varianz moosst wéi wäit d'Donnéeë vum erwaarte Wäert ewech sinn. D'Standardofwäichung ass d'Quadratwurzel vun der Varianz a moosst och d'Verbreedung vun den Donnéeën, awer an de selwechten Eenheeten wéi déi ursprénglech Donnéeën.
Conclusioun
D'binomial Verdeelung ass e fundamentalt Konzept an der Statistik a Wahrscheinlechkeet, dat dacks a verschiddene prakteschen Uwendungen, vun der Wirtschaft bis zu de Sozialwëssenschaften a Biologie, begéint gëtt. Den erwaarten Wäert vun der binomialer Verdeelung, berechent als np, gëtt wichtegen Abléck an déi duerchschnëttlech Zuel vun den Erfolleger an enger Serie vu binäre Versich. Wann mir d'Konzepter vum erwaarten Wäert, der Varianz an der Standardofwäichung verstoen, kënne mir e méi kloert Verständnis vun de Charakteristike vun der binomialer Verdeelung kréien a wéi se bestëmmt Phänomener am Alldag beschreift.
Dëst Wëssen ass extrem nëtzlech net nëmmen an der Datenanalyse a Statistik, mä och bei Entscheedungsprozesser, déi d'Evaluatioun vum Wahrscheinlechkeets- an der Onsécherheetswäert erfuerderen. D'Verständnis vum Erwaardungswäert an der binomialer Verdeelung kann eis hëllefen, méi genee Prognosen ze maachen an informéiert Entscheedungen ze treffen.
