Wéi een d'Standardofwäichung berechent
D'Standardofwäichung ass eng vun den heefegst benotzte statistesche Moossname fir ze bestëmmen, wéi "verbreet" d'Donnéeën vun hirem Duerchschnëtt sinn. Am richtege Liewen hëlleft eis d'Standardofwäichung d'Stabilitéit oder d'Variatioun vun engem Phänomen ze verstoen: zum Beispill Variatiounen an Testergebnissen, Verkafsschwankungen, Gréisstenënnerscheeder a souguer d'Risiken a Finanzdaten. Wat méi kleng d'Standardofwäichung ass, wat méi no d'Donnéeën um Duerchschnëtt sinn. Am Géigendeel weist eng grouss Standardofwäichung un, datt d'Donnéeën wäit vum Duerchschnëtt ewech sinn a grouss Variatiounen hunn.
Dësen Artikel wäert d'Bedeitung vun der Standardofwäichung, d'Formel déi benotzt gëtt an d'Schrëtt fir se manuell ze berechnen duerch einfach ze verstoend Beispiller diskutéieren.
1. Definitioun vun der Standardofwäichung
D'Standardofwäichung ass d'Quadratwurzel vun der Varianz. D'Varianz selwer ass den Duerchschnëtt vun de Quadraten vun den Ënnerscheeder tëscht all Datenpunkt an dem Duerchschnëtt. Firwat e Quadrat benotzen? Well d'Ënnerscheeder tëscht den Datenpunkten an dem Duerchschnëtt entweder negativ oder positiv kënne sinn. Wann se direkt bäigefüügt ginn, kënnen negativ an positiv Ënnerscheeder sech géigesäiteg ausgläichen, wat zu irféierende Resultater féiert. Wann d'Ënnerscheeder quadréiert ginn, ginn all Wäerter positiv, wat eng méi genee Miessung vun der Datenverdeelung erméiglecht.
Einfach:
– Varianz = Mooss vun der Verbreedung a "quadrateschen" Eenheeten.
– Standardofwäichung = e Mooss vun der Verbreedung, déi op déi ursprénglech Dateneenheeten zréckgaangen ass.
Beispill: wann d'Donnéeën a Form vun Testergebnissen (Punkteenheeten) sinn, gëtt d'Varianz a Punkten uginn, während d'Standardofwäichung erëm a Punkten ass, wat d'Interpretatioun méi einfach mécht.
2. Populatioun vs. Standardofwäichung vun der Prouf
Ier Dir berechent, ass et wichteg ze wëssen, wéi eng Zort Daten Dir hutt:
1. Populatioun: D'Donnéeën enthalen all Memberen, déi erfuerscht solle ginn.
D'Formel fir d'Standardofwäichung vun der Populatioun benotzt den Divisor N (Zuel vun den Daten).
2. Stichprobe: Daten sinn nëmmen en Deel vun der Populatioun a ginn normalerweis benotzt fir eng méi grouss Populatioun ze representéieren.
D'Beispillformel fir d'Standardofwäichung benotzt en Divisor (n − 1) fir Schätzungsbias ze korrigéieren. Dës Korrektur gëtt Bessel-Korrektur genannt.
An der alldeeglecher Praxis (z.B. Fuerschung, Ëmfroen, Klassenanalysen) ginn Daten dacks als Stichprouf ugesinn, dofir ass den Divisor (n − 1).
3. Standardofwäichungsformel
A. Formel fir d'Standardofwäichung vun der Populatioun
Huelt d'Donnéeën un: \(x_1, x_2, \dots, x_N \)
Duerchschnëttlech Populatioun:
\[
∫mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Populatiounsvarianz:
\[
∫sigma^2 = ∫frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – μu)^2}{N}
\]
Standardofwäichung vun der Populatioun:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
B. Beispill vun der Standardofwäichungsformel
Beispillmëttel:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Proufvarianz:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Standardofwäichung vun der Prouf:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Schrëtt fir d'Standardofwäichung manuell ze berechnen
Fir et méi einfach ze verstoen, benotze mir d'Beispill vun den Examenresultater vu 5 Studenten:
Donnéeën: 60, 70, 70, 80, 90
Huelt un, datt dës Donnéeën e Stichprobe sinn (üblech a Léierbeispiller).
Schrëtt 1: Den Duerchschnëtt berechnen
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Also ass den Duerchschnëttsscore 74.
Schrëtt 2: Berechent den Ënnerscheed tëscht all Daten an dem Duerchschnëtt
Erstellt eng Differenzkolonn \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Schrëtt 3: Quadréiert den Ënnerscheed
Berechent \((x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Schrëtt 4: D'Quadrate vun den Ënnerscheeder addéieren
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Schrëtt 5: D'Varianz berechnen (fir eng Prouf, duerch n − 1 deelen)
Well n = 5, dann ass n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Also ass d'Varianz vun der Prouf 130.
Schrëtt 6: Quadratwurzel vun der Varianz fir d'Standardofwäichung ze kréien
\[
s = 130 µm (ongeféier 11,40)
\]
D'Standardofwäichung vun den Donnéeën ass also ongeféier 11,40. Dëst bedeit, datt d'Resultater vun de Schüler am Duerchschnëtt ëm ongeféier 11 Punkte vum Duerchschnëtt vun 74 ofwäichen.
5. Schnell Wee: Alternativ Formel (Berechnung)
Nieft der manueller Method uewendriwwer gëtt et eng Berechnungsformel, déi dacks benotzt gëtt fir Berechnungen ze beschleunegen, besonnesch wann et vill Daten gëtt:
Proufvarianz:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Dës Formel vermeit d'Berechnung vun den Ënnerscheeder een nom aneren, awer erfuerdert ëmmer nach Präzisioun bei der Berechnung vun der Zomm vun de Quadraten vun den Donnéeën.
Wéi och ëmmer, fir e konzeptuellt Verständnis ass déi Schrëtt-fir-Schrëtt-Method (Differenz → Quadrat → Som) normalerweis méi einfach a méi sécher viru Feeler.
6. Interpretatioun vun der Standardofwäichung
Standardofwäichung hält net nëmmen bei Zuelen op, mee muss interpretéiert ginn:
– Kleng Standardofwäichung: D'Donnéeë sinn no beim Duerchschnëtt gegruppt, d'Variatioun ass niddreg, d'Resultater si méi konsequent.
– Grouss Standardofwäichung: D'Donnéeë sinn wäit vum Duerchschnëtt ewech verdeelt, d'Variatioun ass héich, d'Resultater si manner konsequent.
Zum Beispill, loosse mer unhuelen, datt zwou Klassen dee selwechte mëttleren Score hunn, 74. Wann d'Klass A eng Standardofwäichung vu 5 an d'Klass B eng Standardofwäichung vu 15 huet, dann sinn d'Punkten an der Klass A méi gläichméisseg a stabil. D'Klass B huet eng méi grouss Variatioun: e puer si ganz niddreg an e puer ganz héich.
7. Heefeg Feeler
E puer üblech Feeler bei der Berechnung vun der Standardofwäichung:
1. Vergiess tëscht Stichprouf a Populatioun z'ënnerscheeden, dofir ass den Divisor falsch (N vs n − 1).
2. Falsch Berechnung vum Duerchschnëtt, wat dozou féiert, datt all spéider Schrëtt falsch sinn.
3. Vergiesst d'Differenz ze quadréieren, oder e Feeler maachen beim Quadratwurzel um Enn.
4. Arithmetesch Feeler beim Addéieren oder Berechnen vu Quadraten vun Zuelen.
Feeler kënne verhënnert ginn, andeems eng Berechnungstabell erstallt an d'Resultater duebel iwwerpréift ginn.
Ofschloss
D'Berechnung vun der Standardofwäichung ass eigentlech net schwéier, wann Dir d'Schrëtt richteg befollegt: berechent de Mittelwert, fannt den Ënnerscheed tëscht all Datesaz, quadréiert d'Differenzen, addéiert se zesummen, deelt (duerch n oder n − 1) an huelt dann d'Quadratwurzel. Wann Dir d'Standardofwäichung verstitt, kënnt Dir bewäerten, wéi konsequent Är Donnéeën sinn a wéi vill Variatioun et gëtt.
Wann Dir wëllt, kann ech och zousätzlech Beispiller mat méi Daten erstellen, Beispiller vu gruppéierten Daten (Frequenztabellen), oder wéi een d'Standardofwäichung mat Excel/Google Sheets berechent.
