Beispillfroen iwwer trigonometresch Verhältnisser
Trigonometrie ass eng Branche vun der Mathematik, déi d'Bezéiungen tëscht de Säiten an de Wénkelen vun engem Dräieck ënnersicht. Ee wichtegen Aspekt vun der Trigonometrie ass d'Verständnis vun trigonometresche Verhältnisser, dorënner Sinus (sinus), Kosinus (cos) an Tangent (tan). Dësen Artikel wäert verschidde Beispiller vun trigonometresche Verhältnisser an hir detailléiert Erklärungen diskutéieren, fir e grëndlecht Verständnis vun de grondleeënden trigonometresche Konzepter ze erliichteren.
Beispillfro 1: Berechnung vun de Wäerter vu Sin, Cos an Tan
Fro:
E Schüler gëtt gefrot, d'Wäerter vu sin, cos an tan vum Wénkel θ an engem rechteckegen Dräieck ze fannen, wann d'Längt vun der géigeniwwerleiender Säit (de géigeniwwerleiende Wénkel θ) 3 cm ass, d'Längt vun der ugrenzender Säit (Basis) 4 cm ass, an d'Längt vun der Hypotenusa (Hypotenusa) 5 cm ass.
Beschte:
Den éischte Schrëtt ass all Säit ze identifizéieren, déi fir de gegebene Wénkel relevant ass. Wéi bekannt ass, kënne mir an engem rechteckegen Dräieck mat Säite vun engem klassesche pythagoräeschen Dräieck (3, 4, 5) direkt einfach trigonometresch Formelen benotzen.
– Sinus (Sin) ass d'Verhältnes tëscht der Längt vun der géigeniwwerleiender Säit an der Hypotenusa.
\[
\sin(\theta) = \frac{\text{Virsäit}}{\text{Hypotenusa}} = \frac{3}{5}
\]
– De Kosinus (cos) ass d'Verhältnes tëscht der Längt vun der ugrenzender Säit an der Hypotenusa.
\[
\cos(\theta) = \frac{\text{ukuerz Säit}}{\text{Hypotenusa}} = \frac{4}{5}
\]
– Tangent (tan) ass d'Verhältnes tëscht der Längt vun der viischter Säit an der Säit.
\[
\tan(\theta) = \frac{\text{Virdersäit}}{\text{Säitsäit}} = \frac{3}{4}
\]
Dofir sinn d'Wäerter vun den trigonometresche Verhältnisser fir de Wénkel θ:
\[
sin(θ) = 3}{5, cos(θ) = 4}{5, tan(θ) = 3}{4
\]
Beispillfro 2: D'Säite vun engem Dräieck mat Hëllef vun trigonometresche Verhältnisser fannen
Fro:
Ugeholl en rechteckegt Dräieck mam Wénkel α = 30°C. Wann d'Längt vun der géigeniwwerleiender Säit vum Wénkel α 4 cm ass, bestëmmt d'Längt vun der anerer Säit.
Beschte:
Mat Hëllef vun den trigonometresche Verhältniswäerter fir de Wénkel 30°C:
– \(sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{Virdersäit}}{\text{Hypotenusa}} = \frac{4}{\text{Hypotenusa}}
\]
\[
Hypotenusa = 4/sin(30°C) = 4/1/2 = 8 cm
\]
– \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{ukuerz Säit}}{\text{Hypotenusa}} = \frac{\text{ukuerz Säit}}{8}
\]
\[
Säit Säit = 8 cos(30^\circ) = 8 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} cm
\]
Dofir ass d'Längt vun der anerer Säit 4 cm an d'Hypotenusa 8 cm.
Beispill 3: Trigonometrie a kartesesche Koordinaten benotzen
Fro:
Bestëmmt d'Wäerter vu sin, cos an tan fir de Punkt \(P(3, 4) \) a kartesesche Koordinaten, wann de Punkt e Wénkel \(\heta\) mat der positiver x-Achs am Quadrant I bildt.
Beschte:
Als éischt, berechent d'Distanz vum Punkt \(P(3, 4)\) zum Urspronk (O), deen d'Hypotenusa vum geformte Dräieck ass.
– D'Hypotenusa (\(r\)) kann mat dem Satz vu Pythagoras berechent ginn:
\[
r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Dann kann d'Trigonometrie vum Punkt P wéi follegt berechent ginn:
– Sinus (sin) ass d'Verhältnes tëscht der Ordinat (y) an der Hypotenus (r):
\[
\sin(\heta) = \frac{y}{r} = \frac{4}{5}
\]
– De Kosinus (cos) ass d'Verhältnes tëscht der Absziss (x) an der Hypotenusa (r):
\[
\cos(\heta) = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}
\]
– Tangent (tan) ass d'Verhältnes tëscht der Ordinat (y) an der Absziss (x):
\[
Σ(θ) = Σy/x = Σ4/3
\]
Dofir sinn déi trigonometresch Wäerter fir de Punkt P:
\[
sin(θ) = 4}{5, cos(θ) = 3}{5, tan(θ) = 4}{3
\]
Beispillfro 4: Benotzung vun trigonometreschen Identitéiten
Fro:
Wann \( \sin(\heta) = \frac{3}{5} \), berechent de Wäert vun \( \cos(\heta) \) mat Hëllef vun der trigonometrescher Identitéit \( \sin^2(\heta) + \cos^2(\heta) = 1 \).
Beschte:
Mir fänken mat enger einfacher trigonometrescher Identitéit un:
\[
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
\]
Wann (sin(θ) = (3/5)) uginn ass, dann:
\[
\sin^2(\theta) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}
\]
\[
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
\]
\[
\frac{9}{25} + \cos^2(\heta) = 1
\]
\[
\cos^2(\heta) = 1 – \frac{9}{25} = \frac{25}{25} – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]
\[
\cos(\heta) = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}
\]
De Wäert vun \(\cos(\theta) \) kann positiv oder negativ sinn, ofhängeg vum Quadrant, an deem de Wénkel \(\theta\) ass. Awer fir dëst Problem ouni explizit Quadrantdefinitioun benotze mir \(\cos(\theta) = \frac{4}{5}\) fir Quadrant I oder \(-\frac{4}{5}\) fir Quadranten II, III oder IV.
Conclusioun
D'Verständnis vun trigonometresche Verhältnisser ass entscheedend fir verschidde Problemer mat Wénkelen a Längt an Dräiecker ze léisen. Wann Dir Problemer wéi déi uewe genannte übt, kënnt Dir Är Fäegkeet verbesseren, d'Bezéiungen tëscht Säiten a Wénkelen an Dräiecker ze berechnen an ze verstoen. Trigonometrie gëtt net nëmmen an der reiner Mathematik, mä och a verschiddene Beräicher vun der Wëssenschaft wéi Physik, Ingenieurswiesen an Astronomie ugewannt. Vill Spaass beim Üben!
