Beispillfroen iwwer d'Wahrscheinlechkeet vu Kompositumsevenementer
Aféierung an d'Wahrscheinlechkeet vu Kompositumsevenementer
Wahrscheinlechkeet ass eng Branche vun der Mathematik, déi d'Wahrscheinlechkeet vun engem Evenement ënnersicht. D'Wahrscheinlechkeet vun engem zesummegesate Evenement ass d'Wahrscheinlechkeet vun engem Evenement, dat méi wéi een Evenement involvéiert. Zum Beispill sinn d'Wahrscheinlechkeet, eng gerued Zuel op engem Wierfel ze werfen, an en As aus engem Spillkaartespill Beispiller vu zesummegesate Evenementer. Dësen Artikel wäert verschidde Beispillproblemer diskutéieren an d'Wahrscheinlechkeet vu zesummegesate Evenementer diskutéieren.
Basiskonzept vun der Wahrscheinlechkeet vu Kompositevenementer
Et ginn zwou Zorte vu komplexen Eventer:
1. Géigesäiteg exklusiv Evenementer: Zwee Evenementer, déi net gläichzäiteg optriede kënnen. Zum Beispill, wann een e Wierfel werft, sinn d'Evenementer vun enger 2 an enger 5 géigesäiteg exklusiv Evenementer, well et onméiglech ass, béid Zuelen gläichzäiteg ze werfen.
2. Net géigesäiteg exklusiv Evenementer: Zwee Evenementer, déi gläichzäiteg optriede kënnen. Zum Beispill, bei enger Auslousung vu Spillkaarten sinn d'Evenementer eng Häerzkaart (♥) an eng Kaart mat der Zuel 10 net géigesäiteg exklusiv Evenementer, well et eng Häerzkaart mat der Zuel 10 gëtt.
Hei sinn e puer Basisformelen, déi benotzt gi fir d'Wahrscheinlechkeet vu zesummegesate Evenementer ze berechnen:
– P(A oder B) (fir net géigesäiteg ausschléissend Evenementer): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A oder B) (fir géigesäiteg ausschléissend Evenementer): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A an B) (fir onofhängeg Evenementer): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Beispillfroen an Diskussioun
Beispill Fro 1: Wierfelen
Fro:
Wéi ass d'Wahrscheinlechkeet, eng gerued Zuel oder eng Zuel méi grouss wéi 4 op engem Wierfel ze kréien?
Beschte:
Als éischt, loosst eis d'Evenementer definéieren:
– Evenement A: Eng gerued Zuel kréien (2, 4, 6)
– Evenement B: Eng Zuel méi grouss wéi 4 kréien (5, 6)
Als nächst bestëmmen mir d'Wahrscheinlechkeet vun all Evenement:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Well et eng Zuel 6 gëtt, déi souwuel an den Eventer A wéi och an B abegraff ass, musse mir \(P(A \cap B)\)\ berechnen:
– \(P(A \capB) = \frac{1}{6}\) (well nëmmen eng Zuel, nämlech 6, souwuel an A wéi och an B abegraff ass)
Mat Hëllef vun der Formel fir net géigesäiteg ausschléissend Evenementer:
[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}]
Loosst eis d'Nenner vun dëse Bréch gläich maachen:
[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}]
Also, d'Wahrscheinlechkeet fir eng gerued Zuel oder eng Zuel méi grouss wéi 4 ze kréien ass \(\frac{2}{3}\).
Beispillfro 2: Spillkaarten
Fro:
Wéi grouss ass d'Wahrscheinlechkeet, en As oder e Pik aus engem Spillkaarten ze kréien?
Beschte:
Als éischt, loosst eis d'Evenementer definéieren:
– Event A: Eng As-Kaart kréien (am Ganzen 4, eng fir all Faarf)
– Evenement B: Eng Spadkaart kréien (total 13)
Als nächst bestëmmen mir d'Wahrscheinlechkeet vun all Evenement:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Well den As vun de Pik an den Evenementer A a B abegraff ass, musse mir \(P(A \cap B)\) berechnen:
– \(P(A \capB) = \frac{1}{52}\)
Mat Hëllef vun der Formel fir net géigesäiteg ausschléissend Evenementer:
[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}]
Loosst eis d'Nenner vun dëse Bréch gläich maachen:
\[
P(A ≈ B) = ∫4/52 + ∫13/52 – ∫1/52 = ∫16/52 = ∫4/13
\]
Also, d'Wahrscheinlechkeet fir en As oder e Pik ze kréien ass \(\frac{4}{13}\).
Beispillproblem 3: Ball an enger Këscht
Fro:
An enger Këscht sinn 3 rout Bäll, 4 blo Bäll a 5 gréng Bäll. Wann eng Ball zoufälleg gezunn gëtt, wéi grouss ass d'Wahrscheinlechkeet, eng rout oder eng gréng Ball ze kréien?
Beschte:
Als éischt, loosst eis d'Evenementer definéieren:
– Evenement A: E roude Ball kréien (Nummer 3)
– Evenement B: E grénge Ball kréien (Nummer 5)
Als nächst bestëmmen mir d'Wahrscheinlechkeet vun all Evenement:
– Gesamt Zuel vun de Bäll = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Well kee Ball gläichzäiteg rout a gréng ka sinn, sinn dës Evenementer sech géigesäiteg ausschléissend:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Loosst eis d'Nenner vun dëse Bréch gläich maachen:
\[
P(A ⋅B) = ∫3/12 + ∫5/12 = ∫8/12 = ∫2/3
\]
Also, d'Wahrscheinlechkeet fir e roude Ball oder e grénge Ball ze kréien ass \(\frac{2}{3}\).
Beispillfro 4: Zwee Mënzen
Fro:
Wann zwou Mënzen gläichzäiteg geheit ginn, wéi grouss ass d'Wahrscheinlechkeet, datt op d'mannst ee Kapp erschéngt?
Beschte:
Mir definéieren Event A: d'Erliewen vun op d'mannst engem Bild.
Et gi véier méiglech Resultater beim Werfen vun zwou Mënzen:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Evenementer, déi op d'mannst ee Bild enthalen, sinn:
– HT
– TH
– TT
Loosst eis d'Wahrscheinlechkeet vun all eenzel berechnen:
– Zuel vun de méiglechen Eventer (total): 4
– Zuel vun den Eventer mat op d'mannst engem Bild: 3
\[
P(A) = \frac{Zuel vun den Eventer mat mindestens engem Kapp}{Gesamtzuel vun den Eventer} = \frac{3}{4}
\]
Also, d'Wahrscheinlechkeet, datt op d'mannst ee Bild erschéngt, ass \(\frac{3}{4}\).
Conclusioun
D'Diskussioun vun den uewe genannten Problemer weist, wéi mir d'Wahrscheinlechkeet vun engem zesummegesate Evenement berechnen kënnen, egal ob et sech géigesäiteg ausschléisst oder net géigesäiteg ausschléisst. Wann mir déi grondleeënd Konzepter verstoen an déi richteg Formelen benotzen, kënne mir d'Wahrscheinlechkeet vu bestëmmte Kombinatioune vun Evenementer bestëmmen, déi a verschiddenen alldeegleche Situatiounen optrieden. Übt weider Är Fäegkeeten mat verschiddene Problemer, fir méi kompetent ze ginn an der Bestëmmung vun der Wahrscheinlechkeet vu zesummegesate Evenementer.
