Beispillfroen iwwer d'Binomialverdeelungsfunktioun
D'binomial Verdeelung ass eng diskret Wahrscheinlechkeetsverdeelung, déi d'Zuel vun den Erfolleger an engem Experiment beschreift, deen aus enger Rei vun onofhängege Versich mat zwou méiglechen Resultater besteet: Erfolleg an Echec. All Versuch gëtt e Versuch genannt, an d'binomial Verdeelung gëtt dacks a Situatiounen benotzt, wou d'Zuel vun den Erfolleger iwwer eng Rei vun onofhängege Versich vun Interessi ass. An dësem Artikel wäerte mir déi grondleeënd Konzepter vun der binomial Verdeelung diskutéieren a Beispiller a Léisunge ginn.
Grondkonzepter vun der binomialer Verdeelungsfunktioun
Ier mer op d'Beispillfroen an d'Diskussioun agoen, loosst eis e puer Grondkonzepter am Zesummenhang mat der binomialer Verdeelung diskutéieren.
1. Definitioun: D'binomial Verdeelung gëtt definéiert als d'Zomm vun den Erfolleger an 'n' onofhängege Versich, wou all Versuch zwou méiglech Resultater huet: Erfolleg (mat der Wahrscheinlechkeet p) oder Echec (mat der Wahrscheinlechkeet q = 1 – p).
2. Wahrscheinlechkeetsfunktioun: D'Wahrscheinlechkeetsfunktioun vun der binomialer Verdeelung ass:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
mäi Mann:
– \( P(X = k) \) ass d'Wahrscheinlechkeet fir k Erfolleger an n Versich ze hunn.
– \( \binom{n}{k} \) ass eng Kombinatioun vun n take k, déi definéiert ass als \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p \) ass d'Wahrscheinlechkeet vum Erfolleg bei all Versuch.
– \( (1-p) \) ass d'Wahrscheinlechkeet vum Echec bei all Versuch.
3. Erwaarte Wäert a Varianz:
– Den erwaarte Wäert (Moyenne) vun der binomialer Verdeelung ass ∫( μ = np).
– D'Varianz vun der binomialer Verdeelung ass ∫(∫sigma² = np(1-p)).
Loosst eis dës Konzepter elo an engem Beispillproblem uwenden, fir e méi déift Verständnis ze kréien.
Beispillfro 1: Basisberechnungen vun der binomialer Verdeelung
Fro:
Eng Firma produzéiert elektronesch Komponenten mat enger Wahrscheinlechkeet vun 0.95, datt all Komponent engem Qualitéitstest besteet. Wann 10 Komponenten produzéiert ginn, berechent d'Wahrscheinlechkeet, datt genau 8 Komponenten dem Qualitéitstest bestoen.
Diskussioun:
Mir kënnen d'Formel fir d'binomial Verdeelung benotzen fir dëst Problem ze léisen. Als éischt identifizéiere mir déi folgend Parameteren:
– \(n \) (Gesamtzuel vun de Versich) = 10
– \(k \) (Zuel vun den Erfolleger) = 8
– \(p \) (Wahrscheinlechkeet vum Erfolleg) = 0.95
– \(q \) (Wahrscheinlechkeet vum Ausfall) = 1 – 0.95 = 0.05
Dann ersetzt dës Wäerter an d'Formel fir d'binomial Verdeelung:
\[
P(X = 8) = ∫(10/8) (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Als éischt, berechent d'Kombinatioun \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \mol 9 \mol 8!}{8! \mol 2!} = \frac{10 \mol 9}{2 \mol 1} = 45
\]
Dann, berechent d'Wahrscheinlechkeeten \( (0.95)^8 \) an \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \ongeféier 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Schlussendlech, multiplizéiert all dës Wäerter fir ze kréien:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 ongeféier 0.0744
\]
Also, d'Wahrscheinlechkeet, datt genau 8 vun 10 Komponenten den Qualitéitstest bestanen, ass ongeféier 0.0744 oder 7.44%.
Beispillfro 2: Kumulativ Wahrscheinlechkeet
Fro:
Berechent, wann Dir nach ëmmer bei der selwechter Firma sidd, d'Wahrscheinlechkeet, datt op d'mannst 9 vun 10 Komponenten den Qualitéitstest bestanen.
Diskussioun:
Fir dëst Problem ze léisen, musse mir déi kumulativ Wahrscheinlechkeet berechnen. D'Wahrscheinlechkeet, datt mindestens 9 vun 10 Komponenten den Test passéieren, bedeit, datt mir \( P(X ≤ 9) \) berechnen, wat als folgend geschriwwe ka ginn:
\[
P(X = 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Mat der Formel vun der binomialer Verdeelung:
\[
P(X = 9) = ∫(10/9) (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = ∫10/10 (0.95)^10 (0.05)^0
\]
Als éischt, berechent d'Kombinatioun fir all Fall:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Dann, berechent d'Wahrscheinlechkeeten fir \(P(X = 9) \) an \(P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \ongeféier 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 ongeféier 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \ongeféier 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Total Wahrscheinlechkeet fir \( P(X ≤ 9) \):
\[
P(X ≤ 9) = 0.3151 + 0.5987 ≥ 0.9138
\]
Also, d'Wahrscheinlechkeet, datt op d'mannst 9 vun 10 Komponenten den Qualitéitstest bestanen, ass ongeféier 0.9138 oder 91.38%.
Beispillfro 3: Erwaarte Wäert a Varianz
Fro:
Berechent den erwaarte Wäert an d'Varianz vun der Zuel vun de Komponenten, déi de Qualitéitstest vun 10 produzéierte Komponenten bestanen, mat enger Warscheinlechkeet vun 0.95.
Diskussioun:
Benotzt déi folgend Formel:
– Erwaarte Wäert (Moyenne) \( \mu = np \)
– Varianz (\sigma^2 = np(1-p))
Mat \(n = 10 \) an \(p = 0.95 \):
\[
µ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]
Also, den erwaarte Wäert vun der Zuel vun de Komponenten, déi de Qualitéitstest bestanen, ass 9.5, an d'Varianz ass 0.475.
Conclusioun
Duerch déi dräi Beispillproblemer uewen hu mir diskutéiert, wéi d'Wahrscheinlechkeet mat Hëllef vun der binomialer Verdeelung fir verschidde Situatiounen berechent ka ginn: d'Berechnung vun der exakter Wahrscheinlechkeet, der kumulativer Wahrscheinlechkeet an der Berechnung vun der erwaarter Wäerter an der Varianz. D'Wëssen iwwer d'binomial Verdeelung ass nëtzlech a verschiddene Beräicher, wéi zum Beispill an der Produktioun, an der medizinescher Fuerschung an an der Sozialstatistik, wou d'Resultater vu widderhollten Experimenter mat zwou méiglechen Ausgäng analyséiert kënne ginn, fir d'Entscheedungsprozesser z'ënnerstëtzen. Hoffentlech hëllefen déi ugebuede Beispillproblemer an d'Diskussiounen Iech, d'binomial Verdeelung besser ze verstoen.
