Beispillfroen an Diskussioun vun der binomialer Verdeelung
D'binomial Verdeelung ass eng vun den am meeschte verbreeten diskrete Wahrscheinlechkeetsverdeelungen. Si ass nëtzlech fir d'Zuel vun den Erfolleger iwwer eng Rei vun identeschen, onofhängege Versich ze modelléieren, déi all entweder en Erfolleg oder e Versoen produzéieren. An dësem Artikel wäerte mir méi déif an d'binomial Verdeelung agoen andeems mir verschidde Beispiller an eng detailléiert Diskussioun ubidden.
Aféierung an d'Binomialverdeelung
Haaptcharakteristike vun der binomialer Verdeelung:
1. n: Zuel vun de Versich oder Widderhuelungen.
2. p: Wahrscheinlechkeet vum Erfolleg an all Versuch.
3. q = 1-p : Wahrscheinlechkeet vum Echec an all Versuch.
D'Wahrscheinlechkeetsmassefunktioun vun der binomialer Verdeelung ass:
[P(X = k) = {n \choose k} p^k(1-p)^{nk} \]
mäi Mann:
– \( {n \wielt k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \(X \): Eng zoufälleg Variabel, déi d'Zuel vun den Erfolleger representéiert.
– \(k \): D'Zuel vun den erfollegten Erfolleger.
Beispillfroen an Diskussioun
Loosst eis mat e puer Beispillproblemer ufänken, fir de Konzept vun der binomialer Verdeelung méi detailléiert ze verstoen.
Beispill 1: Aus enger Grupp vu Studenten auswielen
Zum Beispill, mir hunn eng Grupp vun 10 Schüler, an d'Wahrscheinlechkeet, datt all Schüler fir e Concours ausgewielt gëtt, ass 0,3. Mir wëlle wëssen, wéi wahrscheinlech et ass, datt genau 4 Schüler ausgewielt ginn.
Schrëtt 1: Identifizéiert d'Parameteren vun der binomialer Verdeelung.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
Schrëtt 2: Benotzt d'Binomialverdeelung fir d'Wahrscheinlechkeet vun \( X = 4 \) ze berechnen.
[P(X = 4) = {10 \wielt 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Berechnung vun \( {10 \wielt 4} \):
[{10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Berechent elo \((0.3)^4 \) an \((0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Also,
[P(X = 4) = 210 ≥ 0.0081 ≥ 0.117649 (ongeféier 0.20012)]
Also, d'Wahrscheinlechkeet, datt genau 4 Schüler ausgewielt ginn, ass ongeféier 0.20012 oder 20.012%.
Beispill 2: Wahrscheinlechkeet manner wéi oder gläich wéi 2
Elo gi mir zum Beispill no der Wahrscheinlechkeet gefrot, datt manner wéi oder gläich 2 Schüler ausgewielt ginn.
Schrëtt 1: Mir mussen \(P(X = 0) \), \(P(X = 1) \) an \(P(X = 2) \) berechnen.
– Fir \(P(X = 0) \):
[P(X = 0) = {10 \wielt 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \wielt 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
[P(X = 0) = 1 ⋅ 1 ⋅ 0.0282475 = 0.0282475]
– Fir \(P(X = 1) \):
[P(X = 1) = {10 \wielt 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \wielt 1} = 10 \]
\[(0.3) ⋅(0.7)^9 = 0.1210608 \]
[P(X = 1) = 10 ⋅ 0.3 ⋅ 0.1210608 = 0.3631824]
– Fir \(P(X = 2) \):
[P(X = 2) = {10 \wielt 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \wielt 2} = 45 \]
[(0.3)^2 ⋅ (0.7)^8 = 0.2334744]
[P(X = 2) = 45 ⋅ 0.09 ⋅ 0.2334744 = 0.2334744]
Schrëtt 2: D'Wahrscheinlechkeeten zesummerechnen.
[P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
[P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671]
Also, d'Wahrscheinlechkeet, datt manner wéi oder gläich 2 Schüler ausgewielt ginn, ass ongeféier 0.7740671 oder 77.41%.
Beispill 3: Wahrscheinlechkeet vun op d'mannst 8
Wann en Experiment 12 Mol duerchgefouert gëtt, an d'Wahrscheinlechkeet vum Erfolleg an all Versuch 0.5 ass, wéi ass dann d'Wahrscheinlechkeet, datt op d'mannst 8 Erfolleger optrieden?
Schrëtt 1: Setzt d'binomial Parameter: \(n = 12, p = 0.5 \).
Schrëtt 2: Fannt d'Wahrscheinlechkeet fir \(X ≤ 8 \).
Dëst erfuerdert d'Berechnung vun e puer individuellen Wahrscheinlechkeeten an d'Additioun:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Zielt een nom aneren:
– Fir \(P(X = 8) \):
[P(X = 8) = {12 \wielt 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \wielt 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
[P(X = 8) = 495 ⋅ 0.0002441406 = 0.1208496]
– Fir \(P(X = 9) \):
[P(X = 9) = {12 \wielt 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \wielt 9} = 220 \]
[P(X = 9) = 220 ⋅ 0.0002441406 = 0.05371094]
– Fir \(P(X = 10) \):
[P(X = 10) = {12 \wielt 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \wielt 10} = 66 \]
[P(X = 10) = 66 ⋅ 0.0002441406 = 0.01611328]
– Fir \(P(X = 11) \):
[P(X = 11) = {12 \wielt 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \wielt 11} = 12 \]
[P(X = 11) = 12 ⋅ 0.0002441406 = 0.002929688]
– Fir \(P(X = 12) \):
[P(X = 12) = 12 = 12 (0.5)^12]
\[ {12 \wielt 12} = 1 \]
[P(X = 12) = 1 ⋅ 0.0002441406 = 0.0002441406]
Schrëtt 3: All d'Wahrscheinlechkeeten derbäirechnen.
[P(X ≤ 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 ongeféier 0.1938477]
Also, d'Wahrscheinlechkeet, datt an 12 Versich op d'mannst 8 Erfolleger optrieden, ass ongeféier 0.1938477 oder 19.38%.
Conclusioun
D'binomial Verdeelung ass e fundamentalt Konzept an der Statistik, dat a ville prakteschen Uwendungen entscheedend ass. Wann mir verstoen, wéi een d'Wahrscheinlechkeeten fir verschidde Fäll vun der binomial Verdeelung berechent, wéi an den uewe genannten Beispiller gewisen, kënne mir dëst Konzept a realen Situatiounen uwenden. Dës Übung verstäerkt och eist Verständnis dovun, wéi d'Wahrscheinlechkeetsstrukturen an engem kloren an organiséierten Kontext funktionéieren.
