Beispillfroen iwwer d'Regel fir d'Additioun vun zwou exklusiven Eventer A an B
An der Wahrscheinlechkeetstheorie ass d'Zommregel vun zwou Evenementer ee vun de fundamentale Prinzipien, déi benotzt gi fir d'Wahrscheinlechkeet vu verschiddenen Evenementer ze berechnen. Dëst Konzept gëtt dacks a verschiddene Situatiounen ugewannt fir déi méiglech Resultater vu bestëmmten Evenementer ze verstoen. An dësem Artikel wäerte mir d'Zommregel vun zwou géigesäiteg ausschléissenden Evenementer diskutéieren a Beispiller ginn fir dëst Konzept ze klären.
D'Regel vun der Additioun vun zwou géigesäiteg exklusiven Eventer
Als éischt ass et wichteg ze verstoen, wat mat géigesäiteg exklusiven Eventer gemengt ass. Zwee Eventer ginn als disjunkt oder géigesäiteg exklusiv bezeechent, wa se net zur selwechter Zäit optriede kënnen. An anere Wierder, kee Element an der Meng vun engem Event ass och en Element an der Meng vun engem aneren Event.
D'Additivregel an der Wahrscheinlechkeet seet, datt wann zwee Evenementer \(A\) an \(B\) sech géigesäiteg ausschléissen, dann ass d'Wahrscheinlechkeet vun entweder dem Evenement \(A\) oder \(B\) d'Zomm vun de Wahrscheinlechkeeten vun den zwee Evenementer. Mathematesch kann dës Regel ausgedréckt ginn als:
[P(A − B) = P(A) + P(B)]
woubei \(P(A \cup B)\) d'Wahrscheinlechkeet vun \(A\) oder \(B\) ass, \(P(A)\) d'Wahrscheinlechkeet vum Evenement \(A\) ass, an \(P(B)\) d'Wahrscheinlechkeet vum Evenement \(B\) ass.
Beispill Diskussiounsfroen
Loosst eis e puer Beispiller diskutéieren, fir d'Uwendung vun der Regel fir d'Additioun vun zwou géigesäiteg ausschléissenden Eventer ze klären.
Beispill Fro 1
Fro:
E sechssäitege Wierfel gëtt eemol geheit. Fannt d'Wahrscheinlechkeet, datt déi resultéierend Zuel 2 oder 4 ass.
Beschte:
Mir kënnen den Event \(A\) als den Optriede vum Wäert 2 definéieren, an den Event \(B\) als den Optriede vum Wäert 4. Dofir:
– \(P(A)\) ass d'Wahrscheinlechkeet, datt de Wäert 2 optriede soll.
– \(P(B)\) ass d'Wahrscheinlechkeet, datt de Wäert 4 optriede soll.
Well e Wierfel sechs gläich wahrscheinlech Säiten huet, ass d'Wahrscheinlechkeet, datt e bestëmmte Wäert geworf gëtt, _( \frac{1}{6} \). Also:
[P(A) = \frac{1}{6} \]
[P(B) = \frac{1}{6} \]
D'Evenementer \(A\) an \(B\) sinn géigesäiteg exklusiv, well d'Wäerter 2 an 4 net gläichzäiteg an engem eenzege Wierfelwurf optriede kënnen. Dofir gëtt d'Additivregel fir zwee géigesäiteg exklusiv Evenementer benotzt:
[P(A ⋅B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3]
Also, d'Wahrscheinlechkeet, datt de Wäert, deen erschéngt, 2 oder 4 ass, ass \( \frac{1}{3} \) oder ongeféier 33.33%.
Beispill Fro 2
Fro:
An enger Täsch sinn 10 Bäll, déi aus 4 roude Bäll a 6 bloe Bäll bestinn. Wa mir eng Ball zoufälleg eraussichen, wéi grouss ass d'Wahrscheinlechkeet, datt déi gezunnen Ball rout oder blo ass?
Beschte:
Mir kënnen den Event \(A\) als d'Eroberung vum roude Ball definéieren, an den Event \(B\) als d'Eroberung vum bloe Ball. Sou:
– \(P(A)\) ass d'Wahrscheinlechkeet, eng rout Kugel ze wielen.
– \(P(B)\) ass d'Wahrscheinlechkeet, eng blo Kugel ze wielen.
D'Wahrscheinlechkeet vun all Evenement kann wéi follegt berechent ginn:
\[ P(A) = \frac{\text{Zuel vun de roude Bäll}}{\text{Gesamtzuel vun de Bäll}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Zuel vun de bloe Bäll}}{\text{Gesamtzuel vun de Bäll}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
D'Evenementer \(A\) an \(B\) sinn géigesäiteg exklusiv, well e Ball net souwuel rout wéi och blo ka sinn. Dofir gëtt d'Additivregel fir zwou géigesäiteg exklusiv Evenementer benotzt:
[P(A ⋅B) = P(A) + P(B) = 2/5 + 3/5 = 1]
Also, d'Wahrscheinlechkeet, datt de Ball, deen gezunn gëtt, entweder rout oder blo ass, ass 1, oder 100%. Dëst mécht Sënn, well all d'Bäll an der Täsch entweder rout oder blo sinn.
Beispill Fro 3
Fro:
An enger Klass vun 20 Schüler, vun deenen 7 Mathematik gär hunn, 5 Naturwëssenschaften, a keen deen béides gär huet. Wann ee Schüler zoufälleg ausgewielt gëtt, bestëmmt d'Wahrscheinlechkeet, datt de Schüler entweder Mathematik oder Naturwëssenschaften gär huet.
Beschte:
Mir kënnen d'Evenement \(A\) als eng Virléift fir Mathematik definéieren, an d'Evenement \(B\) als eng Virléift fir Wëssenschaft. Sou:
– \(P(A)\) ass d'Wahrscheinlechkeet, datt e Schüler Mathematik gär huet.
– \(P(B)\) ass d'Wahrscheinlechkeet, datt e Schüler Wëssenschaften gär huet.
D'Wahrscheinlechkeet vun all Evenement kann wéi follegt berechent ginn:
\[ P(A) = \frac{\text{Zuel vun de Schüler, déi Mathematik gär hunn}}{\text{Gesamtzuel vun de Schüler}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Zuel vun de Studenten, déi Wëssenschaft gär hunn}}{\text{Gesamtzuel vun de Studenten}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
D'Evenementer \(A\) an \(B\) sinn géigesäiteg exklusiv, well kee Schüler béid gär huet. Dofir gëtt d'Additivregel fir zwee géigesäiteg exklusiv Evenementer benotzt:
[P(A ⋅B) = P(A) + P(B) = 7/20 + 5/20 = 12/20 = 3/5]
Also, d'Wahrscheinlechkeet, datt e zoufälleg ausgewielte Schüler entweder Mathematik oder Naturwëssenschaften gär huet, ass \( \frac{3}{5} \) oder 60%.
Conclusioun
D'Additiounsregel vun zwou géigesäiteg exklusiv Evenementer ass e fundamentalt Konzept an der Wahrscheinlechkeetstheorie, dat d'Berechnung vun der Wahrscheinlechkeet vun engem gemeinsame Evenement erliichtert. An den uewe genannten Beispiller hu mir gesinn, datt dëse Prinzip op real Situatiounen uwendbar ass, wéi zum Beispill Wierfelen ze werfen, Bäll aus enger Täsch ze zéien oder Schüler aus enger Klass ze wielen. Wann mir dëse Konzept verstoen a meeschteren, kënne mir d'Wahrscheinlechkeeten vu verschiddene géigesäiteg exklusiv Evenementer am Alldag méi effektiv berechnen.
