Articulus de aequatione Poiseuillesiana
Aequatio Poiseuille a Ioanne Ludovico Maria Poiseuille (1799-1869) inventa est. Ut explicatum est, omne fluidum pro fluido ideali considerari potest. Fluidum ideale viscositatem non habet. Si fluidum ideale in tubo fluere ponimus, quaeque pars fluidi eadem celeritate (v) movetur. Dissimiliter fluido ideali, fluidum reale quod in vita cotidiana invenimus viscositatem habet. Quia viscositatem habet, tum cum in tubo fluit, exempli gratia, celeritas cuiusque partis fluidi variat. Stratum fluidi quod in medio est celerius movetur (v profundum), contra, stratum fluidi tubo adhaerens non movetur (v = 0). Ergo a medio ad marginem tubi, quaeque pars fluidi diversis celeritatibus movetur. Ad intellegentiam tuam faciliorem, imaginem infra observa.
R = radius tubi/tubuli
v 1 = celeritas fluxus fluidi in medio / axe tubi
v² = celeritas fluxus fluidi quae est r² ab margine tubi
v³ = celeritas fluxus fluidi r³ ab margine tubi
v⁴ = celeritas fluxus fluidi r⁴ ab margine tubi
r = distantia
Ut fluxus cuiusque partis fluidi idem sit, differentia pressionis ad utrumque finem tubi vel cuiuslibet tubi per quem fluidum transit esse debet. Quod hic "fluidum" significat fluidum verum, exempli gratia, aqua vel oleum quod per tubum fluit, sanguis in vase sanguineo fluens, etc. Praeterquam quod fluidum verum adiuvat ut leniter fluat, differentia pressionis etiam fluida in tubis diversarum altitudinium fluere potest.
Ioannes Ludovicus Maria Poiseuille, olim vir scientificus Francogallicus, qui aspectibus physicis circulationis sanguinis humani studebat, investigationes fecit ad explorandum quomodo factores, ut differentiae pressionis, area transversa tuborum, et magnitudo tuborum, veram fluidi ratem afficiant. Resultata a Ioanne Ludovico Maria Poiseuille obtenta, aequatio Poiseuille nota sunt.
Aequatio Poiseuille derivari potest ope aequationis coefficientis viscositatis quae antea calculata est. Aequationem viscositatis utimur quia casus similes sunt, quamquam non idem. Cum aequationem coefficientis viscositatis derivamus, fluxum strati fluidi realis inter duas laminas parallelas inspicimus, et fluidum moveri potest propter attractionem (F). Differentia est quod aequatio Poiseuille quam derivabimus factores declarat qui fluxum fluidi realis in tubo/tubo et fluidum fluentem propter differentiam pressionis afficiunt. Ergo, aequatio coefficientis viscositatis iterum adaptanda est.
Fluidum propter differentiam pressionis fluere potest (fluidum fluit ex loco altae pressionis ad locum ubi pressio humilis est), tum F substituimus cum p₁ – p₂ ( p₁ > p₂ ).
Cum aequationem coefficientis viscositatis derivamus, fluxum strati fluidi realis inter duas laminas parallelas perscrutamur. Quaeque pars fluidi celeritatem suam regularem usque ad l mutat. Hoc in casu, celeritas fluxus fluidi regulariter ab axe tubi ad marginem tubi mutatur. Fluidum in axe tubi maiore (v) celeritate fluit. Quo maior margo, eo minor celeritas fluidi. Radius tubi = distantia inter axem tubi et marginem tubi = R. Distantia inter quamque partem fluidi et marginem tubi = r. Quia quantitas cuiusque partis fluidi ingens est et distantia ab margine tubi etiam differt, tunc sic scribimus:
v₁ = celeritas fluidi quod distat ad distantiam r₁ ab margine tubi (r₁ = R )
v² = celeritas fluidi quod distat ad distantiam r² ab margine tubi ( r² < r¹ )
v³ = celeritas fluidi ad distantiam r³ ab margine tubi ( r³ < r² < r¹ )
v⁴ = celeritas fluidi quod distat r⁴ ab margine tubi ( r⁴ < r⁴ < r⁴ < r⁴ )
............................................. ..
vn = celeritas fluidi ad distantiam rn ab margine tubi (rn < ... < r⁴ < r⁴ < r⁴ < r⁴ )
Quantitas cuiusque partis fluidi ingens est, nec exacte scimus quanta pars revera sit, itaque sufficit symbolo n scribi. Quaeque pars fluidi celeritatem (v) regulariter mutat, ab axe tubi (r₁ = R) ad marginem tubi (r₁). Ab axe tubi (r₁ = R) ad marginem tubi (r₁), celeritas cuiusque partis fluidi minor est (v₁ > v₂ > v₃ > v₄ > ... > v₄ ).
Ex explicatione supra data, figuram habere possumus quae indicat ab R ad rn, celeritatem fluidi minui. Longitudo tubi = L. Aequatio obtenta est:
Quia celeritas fluxus fluidi est quae inspicimus , aequatio 2 fit:
Haec est aequatio celeritatis fluxus fluidi in distantia r a tubo cum radio R. Si confusus es dum imaginem supra inspicis... Nota bene fluidum in tubo fluere, ergo necesse est nobis fluxus voluminis fluidi inspicere.
Intra tubum, fluidum est. Exempli gratia, fluidum in partes minutas dividimus, ubi quaeque pars aream unitatis dA habet, ab axe tubi distantem et celeritatem fluxus v habet. Mathematice sic scribi potest:
dA² = pars fluidi 1, quae est distantia dr² ab axe tubi.
dA² = pars fluidi 2, quae est distantia dr² ab axe tubi.
dA³ = pars fluidi 3, quae est distantia dr³ ab axe tubi.
..................................
dAn = pars fluidi n, quae est distantia dn ab axe tubi
Pars fluidi est plurima, itaque simpliciter symbolo *n* scribitur, quod magis practicum est. Fluxus voluminis cuiusque partis fluidi mathematice sic scribi potest:
Quaeque pars fluidi distat inter r = 0 et r = R (R = radius tubi). Aliis verbis, distantia cuiusque partis fluidi variat cum ab axe tubi mensuratur. Aequationem fluxus voluminis fluidi in tubo obtinebimus:
Q = Fluxus, R = radius tubi, η = coefficiens viscositatis, P₁ – p₂ = Differentia pressionis inter duos fines tubi, L = longitudo tubi, p₁ -p₂ / L = Inclinatio pressionis (fluxus fluidi semper est in directione pressionis diminutae )
Secundum aequationem Poiseuille supra, videtur fluxus voluminis fluidi (Q) proportionalis esse radio tubi (R₄ ) , gradienti pressionis (p₂ – p₁ / L) et inverse proportionalis viscositati. Si radius tubi addatur (coefficiens viscositatis et gradiens pressionis fixus), tum celeritas fluxus fluidi per factorem 16 augetur.
In notione fundamentali designationis tuborum, hac aequatione utere. Fluidus emissus proportionalis est r₄ ( R = radius tubi). Radius digitorum syringe vel tubi diligenter calculandus est. Exempli gratia, si radium acus (rx²) duplicamus, liquidi emissi qui aspergitur vim compressionis pollicis sedecim vicibus auget.
Aequatio Poiseuille etiam demonstrat radium (r⁴ ) esse inverse proportionalem differentiae pressionis inter duos fines tubi. Exempli gratia, sanguis primum fluit in vase sanguineo quod radium internum r habet. Si coarctatio arteriarum fit (e.g., r/² = radius vasorum sanguineorum bis reducitur),
deinde differentia pressionis sedecim vicibus necessaria est ut sanguis sicut antea fluat (ut celeritas fluxus constans sit).
