Collisiones Impulsivae Momenti Linearis

1. Momentum Lineare

1.1 Definitio Momenti Linearis

Momentum lineare obiecti definitur ut effectus multiplicationis massae obiecti per velocitatem obiecti.

p = mv

ubi:

p = momentum, m = massa (kg), v = velocitas (m/s)

Momentum lineare, vel simpliciter momentum, est quantitas vectorialis quia derivatur multiplicando vectorem (velocitatem) et scalarem (massam). Cum momentum sit quantitas vectorialis, directionem et magnitudinem habet. Momentum directionem cum velocitate vel motu obiecti communicat.

Momentum corporis proportionale est massae et velocitati, quoniam quo maior massa, eo maior momentum corporis. Similiter, quo maior velocitas, eo maior momentum corporis. Ponamus duos currus esse, puta currus A et B. Si massa currus A maior est quam massa currus B et ambo currus eadem velocitate moventur, currus A maiorem momentum corporis habebit quam currus B. Similiter, si currus A et B eandem massam habent, sed currus A celerius quam currus B movetur, momentum currus A maior est quam currus B.

Si res quae massam habet non movetur aut quiescit (velocitatem nullam habet), momentum rei nullus est.

Unitas SI momenti est kg m/s, quae ex unitate massae et unitate velocitatis constat.

1.2 Lex Secunda Newtoni

Antehac, Legem Secundam Newtoni didicisti, quae in aequatione ΣF = ma enuntiatur et relationem inter vim nettam et massam necnon accelerationem obiecti explicat. Vis netta in obiectum agit, quod massam habet, accelerationem obiecto reddens. Hoc tempore, alia forma Legis Secundae Newtoni tibi introducenda est, quae relationem inter vim nettam et mutationem momenti obiecti explicat.

Si vis netta in rem agit quae initialiter quiescit, res movebitur. Antequam moveatur, res nullum momentum habet. Res momentum habet postquam motus redditur. Aliis verbis, vis netta in rem agens mutationem in momento rei per certum temporis intervallum efficit. Ratio mutationis momenti rei aequalis est vi nettae in rem agente.

Impulsus, Momentum Lineare, Collisiones 1 Ubi:

ΣF = vis netta (Newton), Δt = intervallum temporis (secunda), Δp = m (vt _– v _o ) = mutatio momenti (kg m/s).

Aequatio 1.1 est alia forma Legis Secundae Newtoni, quae relationem inter vim nettam et rationem mutationis momenti obiecti explicat, sive cum massa obiecti constans est sive mutatur.

Impulsus, Momentum Lineare, Collisiones 2
Ubi:

ΣF = vis netta (Newton), m = massa (kg), a = acceleratio (m/ ^s² )

Aequatio 1.2 est aequatio legis secundae Newtoni quae relationem inter vim nettam et accelerationem obiecti cum massa constanti explicat.

2. Impetus

2.1 Definitio Impulsus

Impulsus definitur ut effectus multiplicationis vis vel vis nettae per intervallum temporis.

Ubi:

I = impulsus, ΣF = vis netta (Newton), Δt = intervallum temporis (secunda).

2.2 Theorema Impulsionis et Momenti

Theorema momenti impulsivi obtinetur derivando aequationem ex aequatione 1.1.

ΣF Δt = Δp

I = Δp ………………….. Aequatio 1.3

Aequatio 1.3 indicat impulsum aequalem esse mutationi momenti.

I = ΣF Δt

Δp = mv _t - mv _o = m (v _t - v _o )

Exemplum quaestionis 1:

Pila massae 1 kg horizontaliter iacitur celeritate 2 m/s. Deinde, pila in eandem directionem ac directionem initialem percutitur. Pila 1 ms sumit ut cum percussore tangat, et celeritas pilae postquam a percussore discedit 4 m/s est. Quaenam est vis a percussore in pilam adhibita?

Notum:

massa (m) = 1 kg, velocitas initialis (v _o ) = 2 m/s, intervallum temporis (Δt) = 1 × 10⁻³ ^secunda , velocitas finalis (v _t ) = 4 m/s

Directio motus pilae non mutatur, ergo celeritas initialis et celeritas finalis eandem notam habent.

Vis quaesita (F)

solution:

Impulsus, Momentum Lineare, Collisiones 4

Exemplum quaestionis 2:

Pila massae 1 kg horizontaliter ad dextram iacitur celeritate 10 m/s. Postquam percussa est, pila ad sinistram movetur celeritate 20 m/s. Determina impulsum in pilam agere.

Notum:

massa (m) = 1 kg

Velocitas initialis (v _o ) = 10 m/s

Velocitas finalis (vt ₎ = -20 m/s

Directiones motus pilae (directiones velocitatis) oppositae sunt, ergo celeritas initialis et celeritas finalis signa diversa habent.

Quaesitum: Impulsus (I)

solution:

I = m (vt _– v0 ₎ = 1 kg (-20 m/s – 10 m/s) = 1 kg (-30 m/s) = –30 kg m/s

Signum negativum indicat directionem impulsus eandem esse ac directionem celeritatis finalis pilae (ad sinistram).

Exemplum quaestionis quartae

Discipulus pilam volatilem 0.1 kg, quae initio quiescit, percutit. Manus discipuli pilam per 0.01 secunda tangit. Postquam percussa est, pila celeritate 2 m/s movetur.

(a) Quanta est vis a manu discipuli pilae volatilis exercita?

(b) Lex Tertia Newtoni dicit si discipulus vim in pilam exerceat, pila quoque vim in discipulum exercebit. Quanta est vis a pila in manum discipuli exercita?

(c) Si manus discipuli pilam volatilem per 0.001 secundas tangit, quanta est vis a pila volatili in manum discipuli exercita?

Notum:

massa (m) = 0.1 kg,

Intervallum temporis 1 (Δt1 ₎ = 0.01 s = 1 × ^10⁻² s

Velocitas initialis (v _o ) = 0

Velocitas finalis (vt ₎ = 2 m/s

Intervallum temporis 2 (Δt² ₎ = 0.001 s = 1 × ^10⁻³ s

Vis quaesita (F)

solution:

(a) Vis a manu discipuli pilae volatili applicata per tempus contactus 0.01 secundorum est

(b) Vis a pila volatili in manum discipuli per tempus contactus 0.01 secundorum exercita est

Lex Tertia Newtoni: Actio F = – reactio F

Vis a pila in manum discipuli exercita est 200 N.

Ex eventibus adquisitis, concludi potest vim a pila in manum discipuli exercitam maiorem esse cum tempus contactus brevius est. Vis maior maiorem dolorem manui discipuli efficit. Hoc probare potes cum pilam duriorem percutis. Tempus contactus quod capies cum pilam duriorem percutis brevius est quam cum molliorem percutis. Differentia in tempore contactus manum tuam maiorem dolorem sentire facit cum pilam duriorem percutis.

Quid est momentum lineare, et quomodo a vi differt?
- Et respondendum est,Momentum lineare ( $p$ ) obiecti est productum massae eius ( $m$ ) et velocitas eius ( $v$ i.e. $p = m v$ Dum vis ad mutationem momenti obiecti cum tempore pertinet, momentum ipsum mensura est quanti motus obiectum habeat et in quam directionem.
Quomodo impulsus ad mutationem momenti obiecti refertur?
- Et respondendum est,Impulsus est productum vis mediae obiecto applicatae et durationis temporis per quam applicatur. Aequalis est mutationi momenti obiecti. Mathematice: I $m p u l se = Δ p = F_{a v er a g e} \times Δ t$ .
Quid significat conservatio momenti in collisione?
- Et respondendum est,Conservatio momenti affirmat momentum totale systematis clausi ante collisionem aequale esse momento totali post collisionem, dummodo nullae vires externae in systema agant.
Distingue inter collisionem elasticam et inelasticam.
- Et respondendum est,In collisione elastica, et momentum et energia cinetica conservantur. Obiecta inter se "resiliunt". In collisione inelastica, momentum conservatur sed energia cinetica non. Obiecta post collisionem cohaerere vel deformari possunt.
Quomodo fieri potest ut parva vis per longum tempus agens eandem mutationem momenti producat quam magna vis per breve tempus agens?
- Et respondendum est,Quia impulsus est productum vis et temporis, parva vis per longius tempus agens eundem impulsum (et ergo eandem mutationem momenti) producere potest ac maior vis per brevius tempus agens.
Si currus in murum impingitur et consistit, num momentum motus conservatur?
- Et respondendum est,In curru solo, momentum non conservatur quia sistit. Attamen, in systemate latiori (Tellurem et parietem comprehendente), momentum conservatur. Momentum currui impertitum aequaliter et opposite Terrae et parieti impertitur, sed propter magnam differentiam massae, mutatio velocitatis Terrae insensibiliter parva est.
Cur sacci aerii in curribus adiuvant ad iniurias collisionum minuendas?
- Et respondendum est,Sacculi aërii tempus quo impetus personae mutatur dum sistit augent, vim mediam per collisionem minuentes. Haec vis diminutio iniurias minuere iuvat.
Si duo obiecta eadem massa velocitates oppositas aequalis magnitudinis habent et directe colliduntur, quae erit velocitas eorum coniuncta post collisionem?
- Et respondendum est,Si collisio elastica sit et nullae vires externae sint, obiecta eadem celeritate sed in directione opposita resilient. Si collisio perfecte inelastica est, cohaerebunt et sistent, cum momenta eorum se invicem excludant.
Cur pilae salientes tandem sistunt, etiamsi in vacuo sunt (sine ulla resistentia aeris)?
- Et respondendum est,Dum vacuum resistentiam aeris tollit, non impedit ne pila collisiones inelasticas cum solo subeat. Quotiescumque pila saliit, aliqua energia cinetica in alias formas (ut sonum vel energiam deformationis) convertitur, ita ut pila cum quolibet salitu successivo inferius saliat donec consistat.
Quomodo momentum in systematibus, ut in obiectis rotantibus, "occultari" potest?

Et respondendum est,Dum momentum lineare motum rectum rerum conservat, res rotantes momentum angulare habent. Res momentum lineare nullum sed momentum angulare significans habere potest si rotatur. Exempli gratia, trottola quiescens in mensa nullum momentum lineare habet sed momentum angulare propter rotationem habet.