Articulus de principio Archimedis
Navis ingenti massa non mergitur, dum lapis parvae magnitudinis mergi potest. Cur ita est? Responsum simplex est si notionem flotabilitatis et principium Archimedis intellegis.
In vita cotidiana, inveniemus res quae in fluidum inseriuntur, ut saxum, minus pondus habere quam cum res non in liquido sunt. Difficile fortasse erit lapidem e terra tollere, sed idem lapis sine labore e fundo aquae marinae tollitur. Hoc propter vim sustentationis fit. Sustentatio fit propter differentias pressionis fluidorum in diversis profunditatibus. Pressio fluidorum cum profunditate crescit; quo crassius fluidum, eo maior pressio fluidorum. Cum res in fluidum inseritur, differentia pressionis erit inter fluidum in summo rei et fluidum in fundo rei. Fluidum in fundo rei situm pressionem maiorem habet quam fluidum in summo rei.
In figura, rem in aqua natantem videre potes. Liquor in fundo rei pressionem maiorem habet quam liquor in summo rei situs. Hoc fit quia liquor sub re profunditatem maiorem habet quam liquor supra rem (p2 > h1).
Pressio fluidi ad profunditatem h₁ est :
Pressio fluidi ad profunditatem h₁ est :
F₂ = vis a fluido in fundo obiecti applicata, F₁ = vis a fluido in summitatem obiecti applicata, A = area superficiei obiecti.
Differentia inter F₂ et F₁ est vis totalis a fluido in rem data, quam vim sustentationis (vel "vim sustentationis") appellamus. Quantitas sustentationis est:
F flotabilitatis = F² − F¹
F hilaritas = (ρ gh 2 A) (ρ gh 1 A)
F leuitas = ρ g A (h 2 h 1 )
F flotabilitatis = ρ F g A h
F flotabilitatis = ρ F g V
ρ F = densitas fluidi, g = acceleratio gravitatis, V = volumen rerum in fluido
Ergo, aequationem quae quantitatem flotabilitatis (F flotabilitatis) supra indicat scribere possumus:
F levitas = ρ F g V → m = ρ V
F flotabilitatis = m F g
F flotabilitatis = w F
m F g = w F = pondus fluidi quod idem volumen habet ac volumen obiecti immersi.
Ex aequatione supradicta, dicere possumus vim sustentationis aequalem esse ponderi fluidi expelliti, volumen fluidi expelliti simile esse volumini obiecti in fluido immersī.
Si res in fluidum inseritur, fluitans, ubi pars rei quae inseritur tantum pars est,
tum volumen fluidi quod expellitur = volumen partis obiecti in fluido immersae. Qualevis obiectum sit et qualiscumque sit eius forma, omnes idem experientur. Hoc est opus Archimedis (287-212 a.C.n.) ex quo agitur, quod Principium Archimedis appellatur.
Principium Archimedis dicit:
Cum res tota vel partim in liquido immergitur, liquor vim sursum versus (vis sustentationis) obiecto dabit, ubi quantitas vis sursum versus (vis sustentationis) ponderi fluidi depellati aequat.
Fabula Archimedis
Archimedes, qui inter annos 287 et 212 a.C.n. vixit, a rege Hierone II mandatum accepit ut investigaret num corona regi facta ex auro puro facta esset necne. Ut exploraret utrum corona ex auro puro facta esset an alia metalla contineret, Archimedes primo confusus est. Problema est quod forma coronae inaequalis est et non potest prius deleri ut determinari possit utrum corona ex auro puro facta sit necne.
Ratio determinandi utrum corona ex auro puro facta sit necne est primum pondus coronae determinare, deinde cum gravitate specifica auri comparare. Si corona ex auro puro facta est, tum gravitas specifica coronae = gravitas specifica auri.
Gravitas specifica rei est proportio inter pondus rei in aere et pondus aquae quae idem volumen habet ac volumen rerum. Mathematice scribitur:
Quomodo pondus aquae, cuius volumen idem est ac volumen rerum, determinari potest?
Secundum Archimedem, pondus aquae quae idem volumen habet ac volumen rei = vis sustentationis cum res submergitur (tota pars rei in aquam immergitur). Hoc idem est ac pondus rerum amissarum cum in aqua ponderantur. Ergo:
Ad gravitatem specificam coronae determinandam, corona primum in aere ponderatur (pondus coronae in aere). Deinde corona in aquam inseritur et iterum ponderatur ad Pondus Ammissum Coronae obtinendum. Ita:
Postquam gravitas specifica coronae obtenta est, cum gravitate specifica auri comparatur. Gravitas specifica auri = 19.3. Si gravitas specifica coronae = gravitas specifica auri, corona ex auro puro facta est. Sed si corona non ex auro puro facta est, gravitas specifica coronae non eadem est ac gravitas specifica auri.
Cur navis non submergitur?
Si densitas rei minor est quam densitas aquae, tum res natabit. Contra, si densitas rei maior est quam densitas aquae, tum res submerget. Pleraeque naves ex ferro et chalybe fiunt. Densitas ferri et chalybis = 7.8 × 10³ kg /m³ , dum densitas aquae = 1.00 × 10³ kg /m³ . Videtur densitas ferri et chalybis maior esse quam densitatis aquae. Hoc in casu, gravitas specifica ferri et chalybis = 7.8. Navis submergi debet. Cur navis non submergitur? Densitas totalis navis minor est quam densitas aquae vel aquae marinae.
Exemplum problematis primi:
Lapis cum massa 40 kg in fundo stagni est. Si volumen lapidis = 0.2 m³, quae est minima vis necessaria ad lapidem elevandum?
Notum:
Massa lapidis (m) = 40 kg
Volumen lapidis (V) = 0.02 m³
Densitas aquae = 1000 kg/ m³
Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ s²
Quaesitum: F minimum
Solutio:
F flotabilitatis = w F
F flotabilitatis = m F g → m = pV
F flotabilitatis = ρ F g V
F flotabilitatis = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0.02 m³ )
F flotabilitatis = 200 kg m/ s²
F flotabilitatis = 200 N
pondus lapidis (w) = mg
Pondus lapidis = (40 kg)(10 m/ s² )
Pondus lapidis = 400 kg m/ s²
pondus lapidis = 400 N
Vis minima ad lapidem elevandum necessaria :
Pondus lapidis – vis sustentationis = 400 N – 200 N = 200 N
Exemplum problematis primi:
Pondus rei in aqua = 5000 kg m/s² et pondus rei in aqua = 4000 kg m/s² . Si densitas rei = 2000 kg/m³ , quae est massa et volumen rei? g = 10 m/s².
Solutio
Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ s²
Densitas obiecti = 2000 kg/ m³
Densitas aquae = 1000 kg/ m³
Pondus rei in aere = 5000 kg m/ s²
Pondus rei in aqua = 4000 kg m/ s²
Vis sustentationis (F sustentatio) = pondus rei in aere – pondus rei in aqua
F flotabilitatis = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F flotabilitatis = 1000 kg m/ s²
F flotabilitatis = pondus aquae deiectae
F flotabilitatis = (massa aquae)(g)
F flotabilitatis = (volumen aquae eiecti)(densitas aquae)(g)
Volumen aquae quae depellitur = volumen rei in aqua
Volumen obiecti = 0.1 m³
Massa rei = ?
ρ = m / V
m = ρV
m = ( 2000 kg / m 3 ) (0.1 m 3 )
m = 200 kg
Massa obiecti = 200 kg
Exemplum problematis primi:
Quantum volumen helii requiritur si follis oneris 500 kg tollere debet?
Solutio:
Densitas helii = 0.1786 kg/ m³
Densitas aeris = 1.293 kg/ m³
Vis sustentationis = pondus aeris expulsi = pondus obiecti + pondus helii
Vis sustentationis = pondus obiecti + pondus helii
Vis sustentationis = (massa oneris)(g) + (massa helii)(g)
Vis sustentationis = (massa oneris + massa helii) g — aequatio 1
Vis sustentationis = pondus aeris qui expellitur
Vis sustentationis = (massa aeris quae dislocata est)(g) —- aequatio 2
Aequationem 1 et aequationem 2 coniungimus:
(massa oneris + massa helii)(g) = (massa aeris qui expulsus est)(g)
massa oneris + massa helii = massa aeris expulsi
500 kg + (ρ helium)(V helium) = (ρ aqua)(V aqua)
500 kg = (ρ aqua)(V aqua) – (ρ helium)(V helium)
Volumen aeris quod expulit (V aeris) = Volumen helii in folliculo (V helii)
500 kg = (ρ aqua - ρ helium)(V)
Hoc est minimum volumen helii necessarium ad pondera in superficie telluris elevanda. Ut follis altius feratur, volumen helii addendum est. Volumen helii augendum est quia densitas aeris cum altitudine decrescit.
