Tres exempla quaestionum de motu verticali sursum
1. Pila verticaliter sursum iacitur celeritate initiali 20 m/s. Determina altitudinem maximam pilae. g = 10 m/s2
Disputatio
In motu verticali sursum versus, cum res sursum movetur, tardat, et cum deorsum movetur, accelerat. Ergo, motus verticalis sursum versus etiam exemplum GLBB est.
Formula GLBB :
vt v =o + apud
s = vo t + ½ apud2
vt2 v =o2 + 2 axes
Formula GLBB supra modificata est et ad condiciones motus verticalis sursum ascensus accommodata, cum nonnullis annotationibus.
Formula Motus Verticalis Sursum :
vt v =o + gt
h = vo t + ½ gt2
vt2 v =o2 + 2 gh
Descriptio: v.t = celeritas finalis, vo = velocitas initialis, g = acceleratio gravitatis, t = intervallum temporis, h = altitudo.
Catatan:
PrimisIn solvendis problematis motus verticalis sursum versus, quantitas vectorialis quae sursum dirigitur signum positivum accipit, quantitas vectorialis quae deorsum dirigitur signum negativum accipit.
secundiSi positio finalis obiecti supra positionem initialem est (positio initialis est punctum referentiae), tum dislocatio (h) obiecti positiva est. Contra, si positio finalis infra positionem initialem est, tum dislocatio obiecti negativa est.
TertiusAd maximam altitudinem, res paulisper quieta manet antequam directionem mutat, ergo celeritas rei = 0.
Constat:
vo = 20 m/s (positivum quia directio velocitatis initialis sursum est = res sursum iacitur), g = – 10 m/s2 (negativum quia directio accelerationis gravitatis semper deorsum est, vt = 0 (ad maximam altitudinem, res ad momentum quiescit)
Rogatus/a:
Altitudo maxima (h) ?
Responsum:
2. Globus ex aedificio 100 metra supra terram verticaliter sursum iacitur, celeritate initiali 20 m/s. Determina (a) tempus requisitum ad terram perveniendam (b) celeritatem globi cum terram attingit. g = 10 m/s2
Disputatio
Constat:
h = -100 metra
vo = 20m/s
g = -10 m/s2
Rogatus/a:
(a) intervallum temporis (t)
(b) celeritas finalis (v)t)
Responsum:
(a) intervallum temporis (t)
Dato h = -100 metra (negativo quia positio finalis marmoris infra positionem initialem marmoris est), vo = 20 m/s (positivum quia directio velocitatis initialis sursum est vel directio motus initialis sursum est), g = -10 m/s2 (negativum quia directio accelerationis gravitatis deorsum est).
Tempus valorem negativum habere non potest, ergo t adhibetur.2 = 6,9 secunda.
(b) Celeritas finalis
Datis h et vo et g, rogavit vt, tertia igitur formula utere.
3. Pila A verticaliter sursum iacitur celeritate 10 ms⁻¹ . Post unum secundum, ab eodem puncto, pila B verticaliter sursum in eadem via iacitur celeritate 25 ms⁻¹ . Altitudo quam pila B attingit cum pilam A offendit est...
A. 0,20 m
B. 4,80 m
Circa 5,00 metra
D. 5,20 m
E. 31,25 m
Disputatio
In solvendis problematibus de motu verticali sursum , quantitas vectorialis sursum directa signum positivum accipit, quantitas vectorialis deorsum directa signum negativum.
Constat:
Velocitas initialis (v o ) pilae A = 10 m/s
Intervallum temporis (t) quo pila A in aere est = x
Velocitas initialis (v o ) pilae B = 25 m/s
Intervallum temporis (t) quo pila B in aere est = x – 1
Acceleratio gravitatis (g) = -10 m/s² ( directio accelerationis gravitatis deorsum versus est, ergo signum negativum habet)
Quaestio: Altitudo quam pila B attingit cum pilam A offendit (h)
Magnitudo exstans est velocitas initialis (v o ), acceleratio gravitatis (g), altitudo (h) et intervallum temporis (t), ergo formula adhibita est:
h = v o t + ½ gt²
Ut conveniant, altitudo ambarum pilarum eadem esse debet.
hA = hB
v o t + ½ gt² = v o t + ½ gt²
10x + ½ (-10) x² = 25 (x-1) + ½ (-10) (x-1) ²
10x – 5x² = 25 (x-1) – 5 (x-1) ²
10x – 5x² = 25x – 25 – 5 (x² - 2x+1)
10x – 5x² = 25x – 25 – 5x² + 10x – 5
10x – 5x 2 – 25x + 25 + 5x 2 – 10x + 5 = 0
– 5x² + 5x² + 10x – 25x – 10x + 25 + 5 = 0
10x – 25x – 10x + 25 + 5 = 0
– 25x + 25 + 5 = 0
– 25x + 30 = 0
– 25x = – 30
x = -30/-25
x = 1,2 secunda
Intervallum temporis quo pila A in aere est antequam pilam B offendat = 1,2 secunda.
Intervallum temporis quo pila B in aere est antequam pilam A occurrat = 1,2 secunda – 1 secundum = 0,2 secunda.
Altitudo quam pila A attingit cum pilam B (h) offendit:
h = v o t + ½ gt² = (10)(1,2) + 1/2 (-10)(1,2) ² = 12 – 5(1,44) = 12 – 7,2 = 4,8 metra.
Altitudo quam pila B attingit cum pilam A (h) offendit:
h = v o t + ½ gt² = (25)(0,2) + 1/2 (-10)(0,2) ² = 5 – 5(0,04) = 5 – 0,2 = 4,8 metra.
Responsum rectum est B.
Quaestiones de motu verticali sursum
1. Pila verticaliter sursum iacitur celeritate initiali 10 m/s. Determina altitudinem maximam pilae. g = 10 m/s2
Responsum:
h = 5 metra
2. Globus ex aedificio 50 metra supra terram verticaliter sursum iacitur, celeritate initiali 5 m/s. Determina (a) tempus requisitum ad terram perveniendam (b) celeritatem globi cum terram attingit. g = 10 m/s2
Responsum:
(a) t = 3,7 secunda (b) vt = 32m/s
Motus sursum deorsumque in casu libero – problemata et solutiones
