Бир эле мезгилдеги теңдемелерди чыгаруу
Бир эле мезгилдеги теңдемелер, ошондой эле теңдемелер системалары деп да аталат, бул бир нече өзгөрмөсү бар теңдемелер жыйындысы. Бул теңдемелер бир эле учурда деп аталат, анткени алар чогуу чыгарылат, башкача айтканда, чечим бир эле учурда бардык теңдемелерди канааттандырышы керек. Бир эле учурдаги теңдемелерди чыгаруу математикадагы физика, экономика, инженерия жана информатика сыяктуу ар кандай тармактарда колдонулуучу фундаменталдык көндүм болуп саналат. Бул макала бир эле учурдаги теңдемелерди чыгарууда кеңири колдонулган ыкмаларга ар тараптуу сереп салууну максат кылат.
Негизги түшүнүктөр
Бир эле учурда теңдемелерди чыгаруу ыкмаларына тереңирээк киришүүдөн мурун, кээ бир негизги терминдерди жана түшүнүктөрдү түшүнүү маанилүү.
– Өзгөрмөлөр: белгисиз маанилерди билдирген символдор, адатта x, y жана z сыяктуу тамгалар менен белгиленет.
– Сызыктуу теңдемелер: өзгөрмөлөр бирге чейин көтөрүлүп, сызыктуу формада көрсөтүлгөн теңдемелер (мисалы, \(2x + 3y = 6\)).
– Сызыктуу эмес теңдемелер: Бирден башка даражага көтөрүлгөн өзгөрмөлөрдү камтыган, өзгөрмөлөрдүн көбөйтүндүлөрүн, тригонометриялык функцияларды ж.б. камтыган теңдемелер (мисалы, \(x^2 + y^2 = 9\)).
– Теңдемелер системалары: Бирдей өзгөрмөлөр жыйындысын бөлүшкөн эки же андан көп теңдемелерден турган жыйындылар.
Сызыктуу теңдемелер системасынын стандарттуу мисалына токтололу:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\аягы{иштер}
\]
Бул системанын чечими эки теңдемени бир убакта канааттандырган каалаган ((x, y)) жубу болуп саналат.
Бир эле учурда теңдемелерди чыгаруу ыкмалары
1. Графикалык ыкма
Графикалык ыкма ар бир теңдемени координата торчосуна чийүүнү жана графиктердин кесилишкен чекиттерин аныктоону камтыйт. Кесилишкен чекиттер теңдемелер системасынын чечимдерин билдирет.
кадамдар:
1. Ар бир теңдемени √(y = mx + c√) түрүнө айландыргыла, мында √(m√) – эңкейиш, ал эми √(c√) – y кесилиш ноктасы.
2. Бул теңдемелер менен көрсөтүлгөн сызыктарды графикке түшүргүлө.
3. Түз сызыктардын кесилиш чекитин(дерин) табыңыз.
мисал:
Теңдемелер системасын карап көрөлү:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\аягы{иштер}
\]
Буларды жантайыңкы кесилиш формасына айландырыңыз:
\[
\begin{cases}
y = -\frac{2}{3}x + 2
y = 4x – 5
\аягы{иштер}
\]
Графикке сызыктарды чийип, чечимди билдирген кесилиш чекитин табыңыз. Бул мисалда чечим \((x, y) = (1.5, 1)\).
2. Алмаштыруу ыкмасы
Алмаштыруу ыкмасы бир өзгөрмө үчүн теңдемелердин бирин чыгарып, ал туюнтманы башка теңдемеге коюуну камтыйт.
кадамдар:
1. Бир өзгөрмө үчүн теңдемелердин бирин чыгарыңыз.
2. Бул туюнтманы башка теңдеме менен алмаштырып, бир өзгөрмөсү бар бир теңдеме пайда болот.
3. Бул бир өзгөрмөлүү теңдемени чыгарыңыз.
4. Алынган маанини 1-кадамда табылган туюнтмага кайра алмаштырып, экинчи өзгөрмөнүн маанисин алыңыз.
мисал:
Системаны карап көрөлү:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\аягы{иштер}
\]
y үчүн биринчи теңдемени чыгарыңыз:
\[
y = 2 – \frac{2}{3}x
\]
Бул туюнтманы экинчи теңдемеге алмаштырыңыз:
\[
4x – (2 – \frac{2}{3}x) = 5
\]
Жөнөкөйлөтүп, \(x \) теңдемесин чыгарыңыз:
\[
4x – 2 + \frac{2}{3}x = 5
\frac{14x}{3} = 7
x = \frac{3}{2}
\]
\(x = \frac{3}{2} \) функциясын кайра \(y = 2 – \frac{2}{3}x \) функциясына алмаштырабыз:
\[
y = 2 – \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 2 – 1 = 1
\]
Ошентип, чечим төмөнкүдөй болот: \( (x, y) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \).
3. Жок кылуу ыкмасы
Элементации ыкмасы бир өзгөрмөнү жок кылуу үчүн теңдемелерди кошууну же кемитүүнү камтыйт, бул калган өзгөрмөнү чыгарууга мүмкүндүк берет.
кадамдар:
1. Бир же эки тең теңдемени тең өзгөрмөлөрдүн биринин коэффициенттери карама-каршы болушу үчүн туруктуу санга көбөйтүңүз.
2. Бир өзгөрмөнү жок кылуу үчүн теңдемелерди кошуңуз же кемитүү керек.
3. Калган өзгөрмөлөр үчүн алынган теңдемени чыгарыңыз.
4. Жок кылынган өзгөрмөнүн маанисин табуу үчүн бул маанини баштапкы теңдемелердин бирине алмаштырыңыз.
мисал:
Системаны карап көрөлү:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\аягы{иштер}
\]
Экинчи теңдемени 3кө көбөйтүңүз:
\[
4x – y = 5
12x – 3y = 15
\]
Өзгөртүлгөн экинчи теңдемени биринчи теңдемеге кошуңуз:
\[
2x + 3y + 12x – 3y = 6 + 15
14x = 21
x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}
\]
Баштапкы теңдемелердин бирине \( x = \frac{3}{2} \) функциясын коюңуз:
\[
2 \left(\frac{3}{2}\right) + 3y = 6 \\
3 + 3y = 6
3y = 3 \\
у = 1
\]
Ошентип, чечим төмөнкүдөй болот: \( \left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \).
4. Матрицалык ыкма (Гаусс элиминациясы жана тескери)
Чоңураак системалар үчүн Гаусс элиминациясы же матрицанын тескерисин колдонуу сыяктуу матрицалык ыкмалар натыйжалуураак болушу мүмкүн.
Гаусс элиминациясы:
1. Системаны кеңейтилген матрица түрүндө жазыңыз.
2. Матрицаны сап эшелон формасына айландыруу үчүн сап операцияларын колдонуңуз.
3. Чыгарылышын табуу үчүн алмаштыруу.
мисал:
Система:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\аягы{иштер}
\]
Кеңейтилген матрица:
\[
\баштоо{pmatrix}
2 жана 3 жана | жана 6 \\
4 жана -1 жана | жана 5
\end{pmatrix}
\]
Катар операциялары катар эшелон формасына өтүү:
1. \( R2 \leftarrow R2 – 2R1 \):
\[
\баштоо{pmatrix}
2 жана 3 жана | жана 6 \\
0 жана -7 жана | жана -7
\end{pmatrix}
\]
Ордуна алмаштыруучу:
\[
-7y = -7 \y = 1 дегенди билдирет \\
2x + 3(1) = 6 \2x = дегенди билдирет
