Мисал суроолор жана Гаусс законун талкуулоо
Гаусс закону электромагнетизмдин негизги тиреги болуп саналат. Ал электр зарядынын бөлүштүрүлүшүнөн пайда болгон электр талаасын эсептөөнүн натыйжалуу жолун камсыз кылат. Бул макалада биз бир нече мисал маселелерди талкуулайбыз жана Гаусс законунун ар кандай сценарийлерде колдонулушун талкуулайбыз .
Гаусс законунун негизги түшүнүгү
Мисал маселелерин чечүүдөн мурун, Гаусс законунун негизги түшүнүгүн карап чыгалы. Гаусс закону жабык беттен чыккан жалпы электр агымы ((\Phi_E \) бет менен курчалган жалпы зарядга ((q_{in} \) пропорционалдуу экенин айтат. Математикалык жактан Гаусс закону төмөнкүдөй туюнтулат:
\[ \Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]
ди мана:
– \( \Phi_E \) - бул электр агымы.
– \( \mathbf{E} \) – бул электр талаасы.
– \( \mathbf{A} \) беттик аянт вектору.
– \( q_{in} \) – жабык беттин ичиндеги заряд.
– \( \epsilon_0 \) – бул вакуумдун өткөрүмдүүлүгү (\( \epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2) \)).
1-мисал суроо: Көңдөй өткөргүч сферадагы электр талаасы
Суроо:
Сизде сырткы радиусу \( R \) жана жалпы заряды \( Q \) болгон көңдөй өткөргүч шар бар. Көңдөй өткөргүчтүн ичиндеги электр талаасын аныктаңыз.
Талкуу:
– Гаусс бетин аныктоо:
Өткөргүч көңдөйдүн ичинде радиусу \(r \) болгон концентрикалык сфералык Гаусс бетин тандап алдык деп коёлу (мында \(r < R \)).
– Агымды жана зарядды эсептөө:
Өткөрүүчү сферанын ички бөлүгү бош көңдөй болгондуктан, Гаусс бетинин ичиндеги заряд нөлгө барабар (\( q_{in} = 0 \)).
– Гаусс законун колдонуу:
Гаусстун мыйзамына ылайык:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
\(q_{in} = 0 \) болгондуктан, анда электр агымы да нөлгө барабар:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = 0
\]
- Корутунду:
Электр агымы нөлгө барабар болгондуктан, көңдөйдүн ичиндеги ар бир чекиттеги электр талаасы да нөлгө барабар дегенди билдирет.
Демек, өткөргүч көңдөйдүн ичиндеги электр талаасы \( 0 \, \text{N/C} \) болуп саналат.
2-мисал: Чексиз пластинанын электр талаасы
Суроо:
Беттик заряд тыгыздыгы \( \sigma \) болгон чексиз металл пластинанын жанындагы электр талаасын эсептегиле.
Талкуу:
– Гаусс бетин аныктоо:
Пластинанын үстүндө жана астында беттери бар, ар биринин аянты \(A\) болгон цилиндр формасындагы Гаусс бетин "Гаусс таблетка кутучасын" тандаңыз.
– Агымды жана зарядды эсептөө:
Беттин эки учунан чыккан жалпы электр агымы:
\[
\Phi_E = 2EA
\]
мында \(E \) - пластинанын эки тарабындагы электр талаасы. Гаусс бети менен курчалган жалпы заряд \(q_{in} \):
\[
q_{in} = \sigma \cdot A
\]
– Гаусс законун колдонуу:
Гаусстун мыйзамына ылайык:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Демек:
\[
2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_0}
\]
Жөнөкөйлөтүү менен:
\[
E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}
\]
- Корутунду:
Чексиз металл пластинанын жанындагы электр талаасы:
\[
E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \, \text{(N/C)}
\]
3-мисал: Чекиттик заряддын айланасындагы электр талаасы
Суроо:
Чекиттик заряддан (q) r аралыктагы электр талаасын эсептегиле.
Талкуу:
– Гаусс бетин аныктоо:
Чекиттик заряддын радиусу \(r \) болгон сфералык Гаусс бетин \(q \) тандаңыз.
– Агымды жана зарядды эсептөө:
Гаусс бетинен чыккан жалпы электр агымы:
\[
\Phi_E = E \cdot 4\pi r^2
\]
Гаусс бети менен курчалган жалпы заряд (q_{in}) - бул чекиттик заряд (q).
– Гаусс законун колдонуу:
Гаусстун мыйзамына ылайык:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Демек:
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0}
\]
Жөнөкөйлөтүү менен:
\[
E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
- Корутунду:
Чекиттик заряддан (q) r аралыктагы электр талаасынын күчү:
\[
E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \, \text{(N/C)}
\]
4-мисал: Бирдей зарядды камтыган сферанын ичиндеги жана сыртындагы электр талаасы
Суроо:
Радиусу \(R\) болгон катуу шардын жалпы заряды \(Q\) бирдей бөлүштүрүлгөн. Шардын ичиндеги (\(r <R\)) жана сыртындагы (\(r >R\)) чекиттеги электр талаасын эсептегиле.
Талкуу:
\(r < R \) үчүн:
– Гаусс бетин аныктоо:
Катуу сферанын ичинде радиусу \(r \) болгон сфералык Гаусс бетин тандаңыз.
– Жүктү эсептөө:
Заряд бирдей бөлүштүрүлгөндүктөн, r () радиустагы заряд төмөнкүдөй болот:
\[
q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3
\]
мында \( \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \).
\[
q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)
\]
– Гаусс законун колдонуу:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Демек:
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)}{\epsilon_0}
\]
Жөнөкөйлөтүү менен:
\[
E = \frac{Qr}{4\pi \epsilon_0R^3}
\]
Демек, сферанын ичиндеги электр талаасы (\( r < R \)): \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] \( r > R \ үчүн:
– Гаусс бетин аныктоо:
Катуу сферанын сыртында радиусу \(r \) болгон сфералык Гаусс бетин тандаңыз.
– Жүктү эсептөө:
Гаусс бетиндеги жалпы заряд шардын жалпы зарядына барабар \(Q\).
– Гаусс законун колдонуу:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Демек:
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}
\]
Жөнөкөйлөтүү менен:
\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
Демек, сферанын сыртындагы электр талаасы (\( r > R \)):
\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
Корутунду
Гаусс закону ар кандай кырдаалдарда электр талааларын талдоо үчүн күчтүү курал болуп саналат. Тиешелүү Гаусс бетин тандап, анын негизги принциптерин колдонуу менен, биз электр талаасынын бөлүштүрүлүшүн натыйжалуураак эсептей алабыз. Жогорудагы мисалдар аркылуу биз Гаусс законунун өткөргүч сферадагы электр талаасы, чексиз металл пластина, чекиттик заряд жана бирдей зарядды камтыган сфера сыяктуу кырдаалдарда колдонулушун көрдүк. Ырааттуу түшүнүү жана практика Гаусс законун ар кандай электромагнетизм колдонмолорунда бекем колдонууну камсыз кылат.
