Fêmkirina Eslê Hejmarên Kompleks
Qada matematîkê bi têgehên ku di rûyê erdê de abstrakt û dijberî aqil xuya dikin, tijî ye, lê tenê ji bo ku xwe wekî çarçoveyên pir xweşik û girîng ji bo têgihîştina cîhanê eşkere bikin. Yek ji wan têgehan jî hejmarên tevlihev e. Ev hejmar, ku hem beşek rastîn û hem jî beşek xeyalî dihewîne, dibe ku di destpêkê de ezoterîk xuya bikin. Lêbelê, ew di dîroka matematîkê de xwedî rehên kûr in û di warên cihêreng ên wekî endezyarî, fîzîk û pêvajoya sînyalê de rolên girîng dilîzin. Ji bo ku girîngiya wan were fam kirin, girîng e ku em koka wan bişopînin û pêşveçûna wan fam bikin.
Çêbûna Hejmarên Xeyalî
Çîroka hejmarên kompleks bi hevkêşeya çargoşeyî dest pê dike. Ji demên kevnar ve, matematîkzanan hevkêşeyên bi şiklê \(x^2 + bx + c = 0\) çareser kirine. Lêbelê, çareseriyên ku rehên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dihewînin hîn jî nezelal û tevlihev dimînin. Mînakî, matematîkzanê Yewnanî yê kevnar Diophantus çareseriyên ku rehên çargoşeyî yên neyînî dihewînin destnîşan kir lê wan wekî ne gengaz red kir. Bi heman awayî, di heman demê de, matematîkzanên li Hindistan û Çînê hevkêşeyên polînomî lêkolîn kirin û rehên neyînî wekî pirsgirêk dîtin.
Heta sedsala 16an, matematîkzanê Îtalî Gerolamo Cardano pêşveçûnek berbiçav nekir. Di xebata xwe ya bingehîn Ars Magna (1545) de, Cardano formuleyek ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk pêşkêş kir. Dema ku li ser van hevkêşeyan dixebitî, ew rastî kokên çargoşe yên hejmarên neyînî hat. Her çend ew ji qebûlkirina van çareseriyan bi tevahî dudil bû jî, wî ew bi tevahî red nekir. Di şûna wê de, wî hebûna wan dît û heta bi awayekî cebrî jî wan manîpule kir, û bingehek ji bo matematîkzanên paşê danî da ku van hejmarên 'xeyalî' bi ciddîtir lêkolîn bikin.
Pêşveçûn di sedsalên 17 û 18an de
Peyva "xeyalî" di sala 1637an de ji hêla René Descartes ve hate afirandin, ku di destpêkê de wekî peyvek pejoratîf ji bo danasîna van hejmarên ku xuya dikin xeyalî hatibû armanc kirin. Lêbelê, ev peyv ma û hêdî hêdî wateya xwe ya biçûkxistinê winda kir. Di vê navberê de, pêşveçûn berdewam kir ji ber ku matematîkzanên wekî Rafael Bombelli dest bi pênasekirina van hejmaran bi tundî kirin û bi wan re xebitîn.
Xebata Bombelli pir girîng bû. Di pirtûka xwe ya Cebrê (1572) de, Bombelli qaîdeyên ji bo manîpulekirina hejmarên xeyalî rave kir. Wî nîşan da ka meriv çawa van hejmaran lê zêde dike, jê derdixe û heta pir dike, û di bingeh de cebrek pêşîn ji bo hejmarên tevlihev pêşxist. Xebata Bombelli di wê yekê de girîng bû ku têgeha hejmarên xeyalî ji bo civaka matematîkî bêtir xweş were çêkirin.
Pejirandin û têgihîştina fermî ya hejmarên kompleks di sedsala 18an de bi saya beşdariyên matematîkzanên wekî Leonhard Euler û Carl Friedrich Gauss pêş ket. Euler di temsîlkirina hejmarên kompleks bi şiklê eksponentan de roleke girîng lîst. Wî nîşana \(i\) ji bo koka çargoşe ya -1 danasîn û formula navdar a Euler \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\) saz kir, ku girêdanek kûr di navbera trîgonometrî û eksponentasyona kompleks de ronî kir.
Xebata Pêşeng a Gauss
Her çiqas Euler zemînê amade kir jî, Gauss bû ku bingeha hişk ji bo hejmarên kompleks peyda kir. Di destpêka sedsala 19-an de, Gauss Teorema Bingehîn a Cebrê îspat kir, ku dibêje her hevkêşeya polînomî ya ne-sabît bi kêmanî yek koka kompleks heye. Vê teoremê temambûna hejmarên kompleks di çareserkirina hevkêşeyên polînomî de tekez kir û cihê wan di teoriya matematîkî de xurt kir.
Gauss şîrovekirina geometrîkî ya hejmarên kompleks jî da nasîn. Wî hejmarên kompleks wekî xalên di nav planekê de temsîl kirin, ku niha wekî plana kompleks an plana Argand tê zanîn (bi navê Jean-Robert Argand ku ew bi serbixwe jî wê rave kiriye). Hejmareke kompleks \(a + bi\) dikare wekî xalek bi koordînatên (a, b) were xuyang kirin, ku \(a\) beşa rastîn e û \(b\) beşa xeyalî ye. Vê temsîla geometrîkî rêyek hêsan peyda kir ji bo têgihîştina operasyonên hejmarên kompleks, wekî komkirin, derxistin û pirbûnê.
Hejmarên Kompleks di Serdema Modern de
Bi bingeha ku ji hêla Euler û Gauss ve hat danîn, hejmarên kompleks bûn beşek yekgirtî ya matematîkê û di warên zanistî yên cûrbecûr de serîlêdan dîtin. Di fîzîkê de, bi taybetî di elektromagnetîzmê û mekanîka kûantûmê de, hejmarên kompleks pir girîng in. Mînakî, fonksiyona pêlê di mekanîka kûantûmê de bi karanîna hejmarên kompleks tê vegotin, ku dihêle ku hesabkirina îhtimalan û ravekirina taybetmendiyên pêlê di perçeyan de gengaz be.
Di endezyariyê de, bi taybetî di endezyariya elektrîkê de, hejmarên kompleks ji bo analîzkirina çerxên AC têne bikar anîn. Endezyar têgeha fazoran, ku hejmarên kompleks in ku fonksiyonên sînusoîdal temsîl dikin, bikar tînin da ku hevkêşeyên dîferansiyel ên ku tevgera çerxên kontrol dikin hêsan bikin û çareser bikin. Ev rêbaz di sêwirandin û têgihîştina pergalên wekî radyo, televîzyon û torên elektrîkê de bingehîn e.
Herwiha, di pêvajoya sînyalan de, hejmarên tevlihev di analîza Fourier de têne bikar anîn - teknîkek matematîkî ku fonksiyonan an sînyalan vediguherîne frekansan. Ev ji bo gelek teknolojiyan girîng e, di nav de algorîtmayên pêçandina deng û wêneyê yên wekî MP3 û JPEG.
Rêwîtiyek Berdewam
Rêwîtiya hejmarên tevlihev ji tiştekî ecêb ê matematîkî ber bi kevirê bingehîn ê zanist û endezyariya nûjen şahidiya hêza ramana abstrakt e. Tiştê ku wekî hewldanek ji bo çareserkirina hevkêşeyên ku bi rastî ne mumkin xuya dikin dest pê kir, bû sedema pêşxistina çarçoveyek matematîkî bi bandorên dûr û dirêj.
Îro, lêkolîna hejmarên kompleks berdewam dike û bandorê li ser warên wekî teoriya kaosê, dînamîkên şilavan û teoriya hejmaran dike. Lêkolîna taybetmendiyên wan ne tenê têgihîştinê li ser diyardeyên matematîkî, lê di heman demê de li ser cîhanên xwezayî û yên endezyarî jî peyda dike. Hejmarên kompleks ji me re tînin bîra xwe ku lêgerîna zanînê pir caran bi hembêzkirina nenas û pirsîna ne gengaz dest pê dike.
Bi kurtasî, eslê û pêşveçûna hejmarên kompleks sembola rêwîtiya berfirehtir a ramana matematîkî ne. Ji têkoşîna matematîkzanên kevnar ên ku bi kokên neyînî re rû bi rû dimînin bigire heya aqilê bilind ê Euler û Gauss ku wan ji hev derxistin, hejmarên kompleks mînak nîşan didin ka çawa ramanên abstrakt dikarin bibin sedema sepanên pratîkî yên kûr. Bi têgihîştina eslê wan, em di teoriyê û pratîkê de bazdana ji 'xeyalî' ber bi neasayî ve teqdîr dikin.
