Formûl û Nimûneyên Lerizîna Harmonîk
Lerizîna harmonîk mijareke sereke ye di fîzîkê de, ku pir caran di nîqaşên tevgera periyodîk, pêlan û sepanên endezyariyê de xuya dibe. Em dikarin wê di tevgera kaniyan, penduluman (ji bo goşeyên piçûk), û tewra lerizîna molekulan di madeyê de bibînin. Jê re "harmonîk" tê gotin ji ber ku tevgera wê li gorî rêgezek birêkûpêk dimeşe û dikare bi fonksiyonên sînus an kozînus were model kirin. Ev gotar pênaseyek kurt, formulên sereke û pirsgirêkên mînak bi çareseriyan nîqaş dike da ku ji me re bibe alîkar ku em têgeha lerizîna harmonîk fam bikin.
1. Têgihîştina Lerizînên Harmonîk
Lerizîna harmonîk a sade (LHS) tevgera paş û pêş a tiştekî ye ku ji xaleke hevsengiyê derbas dibe û bi hêzeke vegerandinê ye ku mezinahiya wê bi cihguhastinê re rêjeyî ye û rêça wê her tim ber bi xala hevsengiyê ve ye. Ji hêla matematîkî ve, taybetmendiyên wê dikarin wiha werin nivîsandin:
F = −kx
Nîşana minus nîşan dide ku rêça hêzê berevajî rêça guherînê ye. Ger tişt ber bi rastê ve were kişandin (x erênî), hêza vegerandinê ber bi çepê ve ye (neyînî), û berevajî vê.
Du sîstemên ku pir caran wekî mînakên GHS têne destnîşan kirin ev in:
1. Sîstema bihar-girseyê (girseya li dawiya biharê).
2. Penduluma sade (ji bo goşeyên piçûk, bi gelemperî < 15°). 2. Mezinahîyên Girîng di Lerizîna Harmonîk de Hin mezinahîyên ku her gav di GHS de xuya dibin: - Devîasyon (x): dûrahiya tiştî ji xala hevsengiyê (m). - Amplîtûd (A): devîasyona herî zêde (m). - Periyod (T): dema pêwîst ji bo yek lerizîna temam (s). - Frekans (f): hejmara lerizînên di çirkeyê de (Hz). - Leza goşeyî / Frekansa goşeyî (ω): parametreyek girîng di hevkêşeya sînus/kosînus de (rad/s). - Qonax (φ): şert û mercên destpêkê yên tevgerê diyar dike. Têkiliya bingehîn di navbera perîyod û frekansê de: f = 1/T Û têkiliya ω bi T û f re: ω = 2πf = 2π/T 3. Hevkêşeya Lerizîna Harmonîk Forma giştî ya devîasyonê wekî fonksiyonek demê dikare were nivîsandin: x(t) = A sin(ωt + φ) an x(t) = A cos(ωt + φ)
Hilbijartina sin/cos bi heman rengî rast e, li gorî şert û mercên destpêkê (mînak, di t = 0 de, pozîsyon di amplîtudê de ye an jî di xala hevsengiyê de ye). Lez û Lez Lez deravê yekem a cihguherînê ye: v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (eger x = A sin) an jî dikare li gorî forma destpêkê neyînî be. Lez deravê duyem e: a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ) Ji ber ku x(t) = A sin(ωt + φ), wê hingê: a(t) = −ω² x(t) Ev taybetmendiyek sereke ya GHS ye: lezkirin bi cihguherînê re rêjeyî ye û di rêça berevajî de ye. Leza Herî Zêde û Lezkirina Herî Zêde - v_max = Aω - a_max = Aω² Leza herî zêde çêdibe dema ku tişt ji xala hevsengiyê derbas dibe (x = 0). Lezkirina herî zêde çêdibe dema ku di amplîtudê de ye (x = ±A). 4. Serdema Lerizînê di Kaniyan û Penduluman de A. Kanî-Girse Ji bo kaniyeke îdeal bi sabîta kaniyê k û girseya m: T = 2π √(m/k) ω = √(k/m) Ev tê vê wateyê ku girse çiqas mezintir be, serdem ewqas mezintir dibe (hêdîtir). K çiqas mezintir be (kanî çiqas hişktir be), serdem ewqas piçûktir dibe (zûtir dibe). B. Penduluma Sade (Goşeya Biçûk) Ji bo pendulumek bi dirêjahiya têlê L û lezandina gravîtasyonê g: T = 2π √(L/g) ω = √(g/L) Balkêş e ku, di nêzîkbûna goşeya piçûk de, serdem bi girseya pendulumê ve girêdayî nîne, ew tenê bi dirêjahî û gravîtasyonê ve girêdayî ye. 5. Enerjî di Lerizîna Harmonîk de Di GHS de, enerjiya giştî sabît dimîne (eger sürtin tune be): - Enerjiya potansiyel a biharê: Ep = ½ kx² - Enerjiya kînetîk: Ek = ½ mv² - Enerjiya mekanîkî ya giştî: E = Ek + Ep = ½ kA² Dema ku x = ±A, v = 0 be, ji ber vê yekê enerjî bi tevahî potansiyel e. Dema ku x = 0, Ep = 0 be û enerjî bi tevahî kînetîk be. 6. Pirsên Nimûne û Gotûbêj Mînak 1: Diyarkirina Periyoda Biharê Girseyek 0,5 kg li ser biharê bi k = 200 N/m sabît daliqandî ye. Periyoda lerizînê diyar bikin! Dayîn: m = 0,5 kg, k = 200 N/m Pirsî: T Bersiv: T = 2π √(m/k) = 2π √(0,5 / 200) = 2π √(0,0025) = 2π (0,05) = 0,1π s ≈ 0,314 s
Ji ber vê yekê, dewra lerizîna biharê nêzîkî 0,314 s ye. --- Mînak 2: Diyar kirina Frekans û ω Ji pirsa 1, frekans (f) û ω diyar bikin! Bersiv: f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Hz ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 rad/s (an rasterast ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 rad/s) Ji ber vê yekê, frekans nêzîkî 3,18 Hz e û ω = 20 rad/s ye. --- Mînak 3: Hevkêşeya Devîasyonê Cismek bi amplîtuda 0,10 m û ω = 5 rad/s bi awayekî harmonîk lerize. Di t = 0 de, cism di xala hevsengiyê de ye û di rêça erênî de diçe. Hevkêşeya devîasyonê diyar bikin! Dayîn: A = 0,10 m, ω = 5 rad/s Mercên destpêkê: t = 0 → x = 0 û v ya destpêkê pozîtîf e. Ger x(0) = 0, forma guncaw sînus e: x(t) = A sin(ωt) Ji ber ku v(t) = Aω cos(ωt), wê hingê v(0) = Aω cos(0) = Aω li gorî vê pozîtîf e. Bi vî awayî: x(t) = 0,10 sin(5t) (metre) --- Mînak 4: Leza Herî Zêde û Lezkirina Herî Zêde Ji mînaka 3, v_max û a_max diyar bikin. Bersiv: v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s² Ji ber vê yekê, v_max = 0,50 m/s û a_max = 2,5 m/s². --- Mînak 5: Enerjiya di Biharê de Biharek bi k = 100 N/m bi amplîtuda A = 0,20 m dihejîne. Enerjiya wê ya mekanîkî ya tevahî hesab bike! Bersiv: E = ½ kA² = ½ (100)(0,20)² = 50 × 0,04 = 2 J Enerjiya mekanîkî ya tevahî ya lerizînê 2 joul e. --- Mînak 6: Peryoda Pendulumê Pendulumek sade 1 m dirêj e. Ger g = 10 m/s² be, peryoda wê diyar bike. Bersiv: T = 2π √(L/g) = 2π √(1/10) = 2π √0,1 ≈ 2π (0,316) ≈ 1,99 s Ji ber vê yekê, peryoda pendulumê bi qasî 2,0 s ye. 7. Encam Lerizîna harmonîk a sade tevgerînek periyodîk a pir bingehîn di fîzîkê de ye. Kilîda têgihîştina wê di têkiliya di navbera hêza sererastkirinê de ye ku bi cihguhastinê re rêjeyî ye (F = −kx), û her weha modela wê ya matematîkî ku fonksiyona sînus/kosînus dişopîne. Bi têgihîştina formula dewra ji bo kanî û pendûlan, hevkêşeyên cihguhastin-lez-lezkirinê, û têgeha enerjiyê, dê ji bo we hêsantir be ku hûn li ser pirsgirêkên têkildarî lerizîn û pêlan bixebitin.
Heke hûn bixwazin, ez dikarim pirsên pratîkê yên din lê zêde bikim (bêyî ku pêşî nîqaş bikim) an jî guhertoyek kurtkirî ya formulan ji bo ezmûnê amade biafirînim.
