Nimûneyên Pirs û Gotûbêjê li ser Cureyek Rêjeyên Trîgonometrîk: tan θ
Trîgonometrî şaxek ji matematîkê ye ku têkiliya di navbera goşeyan û dirêjahiya aliyan de di sêgoşeyan de lêkolîn dike. Yek ji rêjeya trîgonometrîk a ku pir caran tê nîqaşkirin tangent (tan) e. Di vê gotarê de, em ê li ser karanîna rêjeya tan di cûrbecûr pirsgirêkan de bisekinin û çend mînakên ku tan θ tê de hene nîqaş bikin.
Pênasîna tan θ
Tangensa goşeyek θ wekî rêjeya dirêjahiya aliyê dijberî bi dirêjahiya aliyê cîran di sêgoşeyek rast de tê pênasekirin. Bi awayekî matematîkî, ev wiha tê nivîsandin:
\[ \tan θ = \frac{\text{aliyê dijber}}{\text{aliyê cîran}} \]
Di çembera yekîneyê de, tan dikare wekî rêjeya di navbera koordînata y (aliyê pêş) û koordînata x (aliyê alî) ya xalek li ser çemberê ku yekîneyek ji navendê dûr e jî were şîrovekirin.
Fonksiyona tan di Matematîk û Fîzîkê de
Trîgonometrî, bi taybetî fonksiyona tan, di gelek sepanên matematîkî û fîzîkî de tê bikar anîn. Bo nimûne, di fîzîka klasîk de, fonksiyona tan di analîza tevgera guleyan de tê bikar anîn, û di endezyariyê de, ew ji bo hesabkirina goşeya meyl an jî gradyana rûyekî tê bikar anîn.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Li vir çend mînakên pirsan û nîqaşên wan hene da ku karanîna tan θ kûrtir were fêmkirin.
Pirsa 1: Hesabkirina tan θ ya sêgoşeyek rast
Dayîn: Sêgoşeyek rastgir dirêjahiya aliyê pêşiyê yê goşeya dijber θ 4 cm û dirêjahiya aliyê cîranê goşeya θ 3 cm e. Nirxa tan θ hesab bike.
Nîqaş:
Pênaseya tan bikar bînin:
\[ \tan θ = \frac{\text{aliyê pêş}}{\text{aliyê alî}} \]
Nirxên zanîn li şûna wan biguherin:
\[ \tan θ = \frac{4}{3} \]
Ji ber vê yekê, nirxa tan θ \( \frac{4}{3} \) ye.
Pirsa 2: Diyarkirina dirêjahiya aliyekî bi karanîna tan θ
Dayîn: Sêgoşeyek rastgir bi goşeya θ tê zanîn ku tan θ = 0.75 e. Dirêjahiya aliyê li kêleka goşeya θ 8 cm ye. Dirêjahiya aliyê dijberî goşeya dijberî θ hesab bike.
Nîqaş:
Ji bo dîtina dirêjahiya aliyê dijber, pênaseya tan bikar bînin:
\[ \tan θ = \frac{\text{aliyê pêş}}{\text{aliyê alî}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{aliyê pêşiyê}}{8} \]
Ji bo çareserkirina hevkêşeyê, her du aliyan bi 8-an zêde bikin.
\[ \text{aliyê pêşiyê} = 0.75 \car 8 \]
\[ \text{aliyê pêşiyê} = 6 cm \]
Ji ber vê yekê, dirêjahiya aliyê pêşiyê 6 cm ye.
Pirsa 3: Hesabkirina goşeya θ eger tan θ were zanîn
Dayîn: Sêgoşeyek rastgo tê zanîn ku tan θ = 1 e. Goşeya θ bi nav bike.
Nîqaş:
Dema ku aliyê dijber û aliyê cîran di dirêjahiya wan de wekhev bin, tanbûna goşeyekê wekhev e 1. Di trîgonometriya bingehîn de, ev di goşeya 45° de çêdibe.
Ji ber vê yekê, nirxa θ 45° ye.
Pirsa 4: Bikaranîna Tan θ di pirsgirêkên cebirê de
Dayîn: Têlek ji serê stûnekî ku 15 metre bilind e heta xalek li ser erdê ku 20 metre ji bingeha stûnê dûr e hatiye girêdan. tan θ hesab bike, ku θ goşeya ku ji hêla têl û stûnê ve çêdibe ye.
Nîqaş:
Pênaseya tan bikar bînin:
\[ \tan θ = \frac{\text{aliyê pêşiyê (bilindahiya stûnê)}}{\text{aliyê alî (dûrahiya horizontî)}} \]
\[ \tan θ = \frac{15}{20} \]
Kêmasiyê hêsan bike:
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Ji ber vê yekê, nirxa tan θ \( \frac{3}{4} \) ye.
Pirsa 5: Diyarkirina bilindahiyê ji dûrî û goşeya meylê
Dayîn: Çavdêrek 100 metre dûrî avahiyek bilind radiweste. tan θ ya çavdêriyê ji cihê çavdêr heta serê avahiyê \(\tan 30^\circ\) e. Bilindahiya avahiyê diyar bike.
Nîqaş:
Tê zanîn ku \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
\[ \tan θ = \frac{\text{aliyê pêş (bilindahiya avahiyê)}}{\text{aliyê alî (dûrî)} } \]
Nirxên naskirî têxin navhevkirinê
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{bilindahiya avahiyê}}{100} \]
Ji bo veqetandina bilindahiyê, her du aliyan bi 100 zêde bikin.
\[ \text{bilindahiya avahiyê} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{bilindahiya avahiyê} = \frac{100 \times \sqrt{3}}{3} \]
bilindahiya avahiyê ≈ 57.73 metre
Ji ber vê yekê, bilindahiya avahiyê bi qasî 57.73 metre ye.
Pirsa 6: Diyarkirina goşeyê ji bilindahî û dûriyê
Dayîn: Hûn dizanin ku bilindahiya bircê 50 metre ye û dûrahiya horizontî ji xala çavdêriyê heta binê bircê 70 metre ye. Goşeya bilindbûnê ya heta serê bircê diyar bikin.
Nîqaş:
\[ \tan θ = \frac{\text{bilindahiya bircê}}{\text{dûrahiya horizontî}} \]
\[ \tan θ = \frac{50}{70} \]
\[ \tan θ = \frac{5}{7} \]
Ji bo dîtina θ, em fonksiyona berevajî ya tangensê (tan⁻¹) an jî arctan bi kar tînin.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
Bi karanîna makîneyek hesabkirinê an tabloya trîgonometriyê, em dikarin nirxa θ bibînin.
\[ θ ≈ 35.54° \]
Ji ber vê yekê, goşeya bilindahiyê ya ber bi jorê bircê ve nêzîkî 35.54° ye.
Xelasî
Trîgonometrî di gelek warên zanistê de amûrek bihêz e. Bo nimûne, tangent rêjeyek hêsan lê bihêz e ku dikare ji bo çareserkirina pirsgirêkên cûrbecûr ên têkildarî goşe û dirêjahiya aliyan were bikar anîn. Bi têgihîştina pênaseya wê û ka meriv çawa wê bikar tîne, em dikarin rêzek berfireh ji pirsgirêkên geometrî û fîzîkê çareser bikin. Bi pratîkkirina pirsgirêkên mîna mînaka jorîn, em dikarin di karanîna tan θ di hesabên rojane de jêhatîtir bibin.
