벡터의 덧셈에 관한 기사
1. 벡터량과 스칼라량
기본량과 유도량 외에도 물리량은 스칼라량과 벡터량으로 나눌 수 있습니다. 질량, 거리, 시간, 부피와 같은 양은 크기만 있고 방향은 없는 스칼라량입니다. 반면 변위, 속도, 가속도, 힘과 같은 양은 크기와 방향을 모두 가진 벡터량입니다.
a. 스칼라 량과 벡터량 의 차이점
공의 질량이 400그램이라고 말하면, 이 진술만으로 공의 질량을 알 수 있습니다. 공의 질량을 구하는 데 방향은 필요하지 않습니다. 시간, 온도, 부피, 밀도 등도 마찬가지입니다. 크기만으로는 표현할 수 없는 물리량이 많습니다. 아이가 100미터를 이동했다고 말하면, 이 진술만으로는 충분하지 않습니다. 아이가 어디로 이동했는지, 북쪽, 남쪽, 동쪽, 서쪽 중 어디로 이동했는지 알아야 하기 때문입니다. 마찬가지로, 200N의 힘으로 테이블을 밀었다고 말해도, 방향만으로는 정확한 질량을 알 수 없습니다.
어디로 운전하시나요? 이러한 양을 벡터량이라고 하며, 크기와 방향을 설명해야 합니다. 변위, 가속도, 충격량, 운동량 등이 벡터량의 예입니다. 벡터량과 관련된 과목을 공부하면 더 명확하게 이해할 수 있습니다.
b. 벡터를 그리세요
벡터는 화살표로 표시됩니다. 화살표는 항상 벡터의 방향을 가리키도록 그려집니다. 화살표의 길이는 벡터의 크기를 나타냅니다. 예를 들어, 그림에서 크기가 2N이고 방향이 북동쪽 또는 x축을 중심으로 45 ° 인 힘(F) 벡터를 볼 수 있습니다.
c. 벡터 의 양을 나타내는 규칙
벡터를 손으로 쓸 경우, 벡터 기호는 일반적으로 대문자 이탤릭체로 쓰고 그 위에 화살표를 추가합니다. 인쇄된 책에서는 벡터 기호를 굵은 대문자로 씁니다. 예를 들어, F 입니다. 벡터의 크기를 손으로 쓸 경우, |F|와 같이 씁니다. 인쇄된 책에서는 벡터의 크기를 이탤릭체로 씁니다. 예를 들어, F 입니다.
2. 벡터의 덧셈 - 그래픽적 방법
벡터를 그래픽으로 더하는 방법에는 꼬리-끝 방법과 평행사변형 방법 등 여러 가지가 있습니다.
a. 벡터를 더하는 꼬리-끝 연결법
벡터 A와 B가 알려져 있습니다. 벡터 A = 3cm는 x축과 일치하며(동쪽 방향), 벡터 B = 2cm는 x축과 30 ° 의 각도를 이루며 (북동쪽 방향)입니다. 꼬리-끝 연결법을 이용하여 벡터 A와 B를 그래프로 더하세요. a) R = A + B b) R = A – B
합성 벡터(R)의 크기는 자를 사용하여 측정하고, 합성 벡터의 방향은 각도기를 사용하여 측정합니다.
벡터 A, B, C가 알려져 있습니다. 벡터 A는 길이가 3cm이고 x축과 일치합니다(동쪽 방향). 벡터 B는 길이가 2cm이고 x축과 30 ° 의 각도를 이룹니다(북동쪽 방향). 벡터 C는 길이가 1cm이고 x축과 60 ° 의 각도를 이룹니다 (북동쪽 방향). 꼬리-끝 연결법을 이용하여 벡터 A, B, C를 그래프로 더하세요.
a) R = A + B + C
b) R = A – B – C
합력 벡터(R)는 자를 사용하여 측정합니다. 합력 벡터의 방향은 각도기를 사용하여 측정합니다.
b. 평행사변형법
벡터 A, B, C가 알려져 있습니다. 벡터 A는 길이가 3cm이고 x축과 일치합니다(동쪽 방향). 벡터 B는 길이가 2cm이고 x축과 30 ° 의 각도를 이룹니다 (북동쪽 방향). 벡터 C는 길이가 1cm이고 x축과 60 ° 의 각도를 이룹니다 (북동쪽 방향). 평행사변형을 이용하여 벡터 A, B, C를 그래프로 더하세요.
a) R = A + B
b) R = A – B
c) R = A + B + C
d) R = A – B – C
합력 벡터(R)는 자를 사용하여 측정합니다. 합력 벡터의 방향은 각도기를 사용하여 측정합니다.
3. 벡터의 덧셈 – a분석적인 방법
그래프를 이용하여 합성 벡터의 크기와 방향을 결정하는 것도 한 가지 방법입니다. 결과의 정확도는 도면을 그리는 정확도와 축척을 읽는 정확도에 따라 달라집니다. 합성 벡터의 크기와 방향은 수학적 계산을 통해 더욱 정확하게 구할 수 있습니다.
a. 코사인 법칙을 이용하여 두 벡터의 합 계산하기
합성 벡터의 크기를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
합성 벡터의 방향을 결정하는 공식은 다음과 같습니다.
C = 결과 벡터
A = 벡터 1
B = 벡터 2
cos ∠(A, B) = 벡터 A와 B가 이루는 각도
예제 문제 1:
F 1 = 2 N은 x축에 대해 30°의 각도를 이루고, F 2 = 3 N은 x축에 대해 60 ° 의 각도를 이루며 , θ = 30 ° 입니다.
예제 문제 2:
F 1 = 2 N은 x축과 일치하고, F 2 = 3 N은 x축에 대해 90 ° 의 각도를 이루며 , θ = 90 ° 입니다.
b. 성분을 이용한 벡터 더하기
아래 그림과 같이 x축에 대해 특정 각도를 이루는 벡터 F를 살펴보세요. Fx 와 Fy 는 벡터 F의 성분 벡터입니다.
성분 벡터의 크기는 다음 공식을 사용하여 결정됩니다.
F x = F cos θ
F y = F sin θ
두 벡터 F를 검토하세요.1 및 F2 아래 그림과 같이 x축을 중심으로 특정 각도를 이룹니다. F1x 및 F1y 벡터 F의 구성 요소입니다.1, 그래서 F2x 및 F2y 벡터 F의 구성 요소입니다.2.
성분 벡터는 다음 공식을 사용하여 결정됩니다.
F1x = 에프1 코사인 θ
F 1y = F 1 sin θ
F 2x = F 2 cos θ
F 1y = F 1 sin θ
구성 요소 벡터를 추가합니다.
F x = F 1x + F 2x
F y = F 1y + F 2y
결과 벡터는 다음 공식을 사용하여 결정됩니다.
합성 벡터의 방향은 다음 공식을 사용하여 결정됩니다.
예제 문제 1:
크기가 20N이고 x축에 대해 30 ° 의 각도를 이루는 벡터 F의 성분을 구하십시오.
F x = (20N)(cos 30o ) = 17N
F y = (20 N)(sin 30 o ) = 10 N
예제 문제 2:
F1 = 20N은 x축에 대해 30°의 각도를 이루고 , F2 = 15N 은 x축에 대해 180°의 각도를 이룹니다. 합성 벡터의 크기와 방향을 구하세요.
F 1x = (20 N)(cos 30 o ) = 17 N
F 2x = F 1 = – 15 N
F 1y = (20 N)(sin 30 o ) = 10 N
F 2y = 0
구성 요소 벡터를 추가합니다.
F x = F 1x – F 2x = 17 N – 15 N = 2 N
F y = 10 N
결과 벡터:
F₂ = Fx₂ + Fy₂ = 2² + 10² = 4 + 100 = 10⁴
F = 10.2N
결과 벡터의 방향:
θ = tan −15 = 78.7 ° (x축을 중심으로 )
예제 문제 3:
F1F2, 및 F3 풍향은 20N, 30N, 40N입니다.1 60도의 각도를 이룬다o x축을 중심으로, F2 150도의 각도를 이룬다o x축을 중심으로, 그리고 F3 315도의 각도를 이룬다o x축을 중심으로 회전하는 벡터의 크기와 방향을 구하세요.
F 1x = (20 N)(cos 60 o ) = 10 N
F 1y = (20 N)(sin 60 o ) = 17 N
F 2x = (30 N)(cos 30 o ) = -26 N
F 2y = (30 N)(sin 30 o ) = 15 N
F 3x = (40 N)(cos 45 o ) = 28 N
F 3y = (40 N)(sin 45 o ) = -28 N
구성 요소 벡터를 추가합니다.
F x = F 1x – F 2x + F 3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N
Fy = F1y + F2y – F3y = 17N + 15N – 28N = 4N
결과 벡터:
F₂ = Fx₂ + Fy₂ = 12² + 4² = 144 + 16 = 160
F = 13N
결과 벡터의 방향:
θ = tan −1 0.3 = 17 ° (x축을 중심으로)
