상관계수 구하는 방법: 소개, 방법 및 응용
상관계수는 데이터 세트에서 두 변수 간의 관계 강도를 측정하는 통계적 척도입니다. 상관계수의 값은 -1에서 1 사이입니다. 상관계수 값이 1 또는 -1에 가까울수록 두 변수 간에 강한 상관관계가 있음을 나타냅니다. 상관계수 값이 0에 가까울수록 두 변수 간에 강한 상관관계가 없음을 나타냅니다. 이 글에서는 상관계수, 계산 방법, 해석 및 다양한 분야에서의 응용에 대해 논의합니다.
상관계수 소개
상관계수는 두 변수 간의 관계를 수치적으로 보여줍니다. 상관계수는 관계의 방향에 따라 크게 두 가지 유형으로 나뉩니다.
1. 양의 상관계수: 한 변수가 증가할 때 다른 변수도 증가함을 나타냅니다.
2. 음의 상관계수: 한 변수가 증가할 때 다른 변수는 감소함을 나타냅니다.
두 변수 간의 관계는 관계의 강도에 따라 세 가지 유형으로 나눌 수 있습니다.
1. 강한 상관관계: 상관계수가 -1 또는 1에 가깝습니다.
2. 중간 정도의 상관관계: 상관계수가 -0.5에서 -1 사이이거나 0.5에서 1 사이입니다.
3. 약한 상관관계: 상관계수가 0에 가깝습니다.
상관 계수 계산 방법
상관 계수를 계산하는 데에는 피어슨 상관 계수, 스피어만 상관 계수, 켄달 상관 계수 등 여러 가지 일반적인 방법이 사용됩니다. 이제 각 방법에 대해 자세히 살펴보겠습니다.
1. 피어슨 상관계수
피어슨 상관계수는 두 변수 모두 연속형 변수이고 정규 분포를 따를 때 자주 사용됩니다. 피어슨 상관계수의 공식은 다음과 같습니다.
\[ r = \frac {n(\Sigma xy) – (\Sigma x)(\Sigma y)}{ \sqrt{ [n \Sigma x^2 – (\Sigma x)^2] [n \Sigma y^2 – (\Sigma y)^2 ] } } \]
디 마나:
– \( r \) = 상관계수,
– \( n \) = 데이터 쌍의 개수,
– \( \Sigma xy \) = 데이터 쌍 \( x \)와 \( y \)의 곱의 합,
– \( \Sigma x \) = 값 \( x \)의 합,
– \( \Sigma y \) = 값 \( y \)의 합,
– \( \Sigma x^2 \) = \( x \)의 제곱의 합,
– \( \Sigma y^2 \) = \( y \)의 제곱의 합.
2. 스피어만 순위 상관계수
스피어만 상관계수는 순서형 데이터 또는 정규성 가정을 충족할 수 없는 경우에 사용됩니다. 스피어만 상관계수는 데이터의 실제 값이 아닌 데이터 값의 순위를 기반으로 합니다. 스피어만 상관계수의 공식은 다음과 같습니다.
\[ \rho = 1 – \frac {6\Sigma d_i^2}{n(n^2-1)} \]
디 마나:
– \( \rho \) = 스피어만 상관계수,
– \( d_i \) = 데이터 쌍 \( x \)와 \( y \)의 순위 차이,
– \( n \) = 데이터 쌍의 개수.
3. 켄달의 타우 상관계수
켄달 상관계수는 두 순서형 변수 간의 관계 강도를 측정합니다. 스피어만 상관계수와 달리 켄달 상관계수는 일치하는 쌍과 일치하지 않는 쌍의 수에 더 중점을 둡니다. 켄달 상관계수의 공식은 다음과 같습니다.
\[ \tau = \frac{ (C – D)} { \sqrt{(C + D + T) (C + D + U) } } \]
디 마나:
– \( \tau \) = 켄달의 상관계수,
– \( C \) = 일치하는 쌍의 수,
– \( D \) = 불일치 쌍의 수,
– \( T \) = 변수 \( x \)에 있는 계열 쌍의 개수,
– \( U \) = 변수 \( y \)에 있는 시리즈 쌍의 개수.
상관계수 해석
상관계수의 해석은 얻어진 계수 값에 따라 달라집니다.
– 계수 +1: 완벽한 양의 상관관계.
상관계수 0.7~0.9: 강한 양의 상관관계.
상관계수 0.4~0.6: 중간 정도의 양의 상관관계.
상관계수 0.1~0.3: 약한 양의 상관관계.
– 계수 0: 관계 없음.
– 상관계수 -0.1 ~ -0.3: 약한 음의 상관관계.
– 상관계수 -0.4~-0.6: 중간 정도의 음의 상관관계.
– 상관계수 -0.7~-0.9: 강한 음의 상관관계.
– 계수 -1: 완벽한 음의 상관관계.
상관계수 응용
상관계수는 경제학, 사회과학, 보건, 교육 등 다양한 분야에서 폭넓게 활용됩니다. 몇 가지 예를 들면 다음과 같습니다.
1. 경제학: 인플레이션과 실업률의 관계, 또는 소비자 지출과 소득의 관계를 규명하는 것.
2. 사회과학: 교육과 소득의 관계, 또는 소셜 미디어와 심리적 웰빙의 관계를 규명하는 것.
3. 건강: 흡연 습관과 폐암 발병률의 관계 또는 활동적인 생활 방식과 심장 건강의 관계를 비교합니다.
4. 교육: 학습 시간과 시험 결과의 관계 또는 학급 규모와 학생 성취도의 관계를 조사합니다.
데이터셋을 활용한 실제 사례
다음과 같이 10명의 학생에 대한 수학 시험 점수와 공부 시간(시간)을 포함하는 데이터 세트가 있다고 가정해 보겠습니다.
"
학생 학습 시간 수학 성적
1 5 85
2 3 78
3 6 90
4 2 76
5 4 80
6 6 88
7 5 85
8 3 82
9 7 91
10 5 87
"
학습 시간과 수학 점수 사이의 피어슨 상관계수를 계산할 수 있습니다. 피어슨 상관계수 공식을 사용하여 먼저 Σx, Σy, Σxy, Σx², Σy² 값을 계산한 다음, 이 값들을 공식에 대입하여 r 값을 구합니다.
결론
상관계수는 두 변수 간의 관계의 강도와 방향을 파악하는 데 유용한 데이터 분석 도구입니다. 상관계수의 개념, 계산 방법, 해석법을 이해하는 것은 효과적인 데이터 분석에 필수적입니다. 이를 제대로 이해하면 다양한 분야의 변수 간 상관관계를 더욱 정확하게 파악하고, 데이터에 기반한 정보에 입각한 의사결정을 내릴 수 있습니다.
